第三节 实数域和复数域

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1、第三节实数域和复数域　　1．实数和实数域　　前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．　　但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．　　(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．　　如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．　　事实上，设R的任一元素a都是某个有理数

2、基本列｛an｝的极限．则存在k∈N，使

3、ak－a

4、＜1，从而a＜1＋

5、ak

6、．　　1＋

7、ak

8、是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋

9、ak

10、．故有n＞a．　　因此，R是阿基米德序域．　　反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　liman＝a　　即R中任意数a都是有理数基本列的极限

11、．　　若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．　　现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若liman=a，｛an｝为有理数基本列，｛an｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．　　易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．　　(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：　　对任意｛an｝，｛bn｝∈M．　　　1°｛an｝～｛bn｝当且仅当lim(an－bn)=0；　　　2°｛an｝＋｛bn｝＝｛an＋bn｝；　

12、　　3°｛an｝·｛bn｝＝｛an·bn｝；　　　4°｛an｝＜｛bn｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，bn－an＞ε．　　由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．　　作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：　　对任意α，β∈R0，｛an｝∈α，｛bn｝∈β，　　　1°若｛an＋bn｝∈γ，则规定α＋β＝γ；　　　2°若｛an·bn｝∈ρ，则规定α·β=ρ；　　　3°若｛an｝＜｛bn｝，则规定α＜β．　　不

13、难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．　　　若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．　　因此，R0是阿基米德序域.　　(3)嵌入　　设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．　　作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．　　作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说

14、的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．　　实数集R的若干性质．　　　1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．　　　2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：　　在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．　　划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…

15、．　　这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．　　现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：　　实数b．这时规定B与b对应．　　建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．　　由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．　　3°实数表示成无尽小数形式　　由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：

16、　　设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第an(an=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，an，…)(0≤ai＜p，i=1，2，3，…)．　　反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．　　我们将用上述方法得