§1.8 复数域和实数域上的多项式

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1、§1.8复数域和实数域上的多项式一、C上多项式对于上的多项式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。定理1.8.1（代数基本定理）：任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。定理1.8.2：当n=1时结论显然成立。证：假设结论对n-1次多项式成立，则当是n次多项式时，由于在C上至少有一个根，设为则，是C上n-1次多项式。由归纳假设知在C上有n-1个根，推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。推论2：任一个n（n>0）次多项式在在C上的根，所以n个根。它们也是在C上有

2、上都能分解成一次因式的乘积，即的标准分解式是：其中是不同的复数，是自然数且韦达定理：设是的两个根，则C上多项式的根与系数关系：设—（1）是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记—（2）比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，则为得根与系数的关系为：如果根与系数的关系又如何？利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式，使其恰以为根。例1.8.1：它以1和4为单根，-2为2重根。求一个首项系数为1的4次多项式，使解：设则二、实数域上的多项式定理1.8.3：如果是实数系数多项式的与有相同的重数。证：设由于是的根，故有两边取共轭复数，注意到和0都是实数，则有可见也是的根。非

3、实复根，则的共轭复数也是的根，且因此多项式：能整除，即存在多项式，使是实系数多项式，故也是实系数多项式。若是的重根，由于，故必是的根，是实系数，故也是的根，故也是的重根。与重复应用这个推理方法知的重数相同。唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的定理1.8.4每个次数的实系数多项式都可乘积。就是一次因式子，结论成立。若，证明：的次数作数学归纳。对假设对结论次数

4、3中不可约多项式除一次多项式外，只有含非实共轭复根的二次多项式。推论4n（n>0）次实系数多项式具有标准分解式：不可约，即满足在R上例1.8.2：设是多项式的非零根，求以为根的四次多项式。解：设为多求多项式。所求多项式是：或