丢番图与不定方程

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1、丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。英国科学史家法灵顿（B．Farrington1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的

2、豪华。”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号

3、，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋b＋c＝N3这里就要考虑到三次方程了。这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（DiophantineEquations

4、）。这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。由于要求是平方数：16-x2＝y2因此，我们一个方程有两个未知数x，y。第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。”写成代数式子是求：x2＋y2=z3的解。丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。一次不定方程我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。这类方程一般是形如ax＋by=c，a、b、c都是整数。一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmag

5、upta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。例1求1027x＋712y＝1的整数解。我们这里a=1027，b＝712，c=11＝1×13-3×4  =-3×69+16×13  ＝16×82-19×69  =-19×315＋73×82  ＝73×712-165×315  =-165×1027+238×712于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。例2求33x＋17y=13的整数解。先求33x＋17y=1的整数解所以1=17×1-16×1          ＝33×1-16×2故 13=33×13-16×（2×13

6、）即x0=13，y0=26是33x＋17y=13的特殊解。我们有下面的定理：[定理]丢番图方程ax＋by=c有解，当且仅当a、b的最大公约数d=（a，b）能整除c。而它的一般解是：x=x0+Bty=y0-At这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。因此方程33x＋17y=13的一般解是：x=13+17ty＝26-33t《九章算术》的“五家共井”问题在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。在这书的第八章《方程》的第13题是这样：“今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙

7、3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1绠。如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。问井深绠长各几何？”这书在汉朝写成，文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。现在翻译成白话：“有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长。问井深、绳长各多少？”我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z

8、，s，t以