丢番图方程整数解方法.doc

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1、求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1求

2、不定方程的整数解解已知方程可化为因为y是整数，所以也是整数.由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2求不定方程的整数解.解因为,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:从最后一个式子向上逆推得到所以则特解为通解为或改写为(2)不等式

3、估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值围.例3求方程适合的正整数解.解因为所以所以即所以所以当时有所以所以所以所以当时有所以所以所以所以(2)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4求不定方程的整数解.解因为，所以原方程有整数解.有，用来表示，得则令由4<37,用来表示,得令将上述结果一一带回，得原方程的通解为注解一元二次不定方程通常先判定方程有无

4、解.若有解,可先求的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是.(5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5求不定方程的整数解.解原方程等价于因为所以所以原方程的通解为(6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值围，另一方面又可用或代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6求方程的正整数解.解显然

5、,不妨设因为328是偶数，所以、的奇偶性相同，从而是偶数.令则、所以代入原方程得同理，令、于是，有再令得此时，、必有一奇一偶，且取得相应的所以，只能是从而结合方程的对称性知方程有两组解(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7求方程的正整数解.解显见，为此，可设其中、为正整数.所以原方程可化为整理得所以相应地所以方程正整数解为(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解

6、题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8已知三整数、、之和为13且，求的最大值和最小值，并求出此时相应的与的值.解由题意得，消去得整理得到关于的一元二次方程因为因若符合题意，此时若时，则有无实数解，故若时，则有解得符合题意，此时综上所述，的最大值和最小值分别为16和1，相应的与的值分别为(9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方

7、法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9若解由题意即所以所以(10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如、形式的式子，最后用韦达定理.例10已知、都是质数，且使得关于的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对解设方程的两根分别为、由根与系数关系得因为、都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所