第六章窄带随机过程

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1、第八讲窄带随机过程8.1希尔伯特变换和解析过程8.1.1希尔伯特变换一．希尔伯特变换的定义设有实信号，它的希尔伯特变换记作或，并定义为用代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：也可得希尔伯特反变换为经变量替换后得二．希尔伯特变换的性质1.希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。从定义可以看出，希尔伯特变换是和的卷积，即于是，可以将看成是将通过一个具有冲激响应为的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为式中，为符号函数，其表达式为可得滤波器的传输函数为即上式表明，希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。由上述分析可得，的傅

2、立叶变换为2.的希尔伯特变换为，即。3.若，则的希尔伯特变换为4.与的能量及平均功率相等，即此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。5.设具有有限带宽的信号的傅氏变换为，假定，则有设与为低频信号，则6.平稳随机过程希尔伯特变换的统计自相关函数，和时间自相关函数，分别等于的自相关函数和时间自相关函数，即：＝＝7．8.1.2解析信号由实信号作为复信号的实部，的希尔伯特变换作为复信号的虚部，即这样构成的复信号称为解析信号。设频谱为，并已知的频谱为，则可得复信号的频谱为8.1.3复随机变量若X和Y分别是实随机变

3、量，则定义Z为复随机变量Z=X+jY复随机变量的数字特征：1.数学期望复数2.方差实数3.互相关矩若有两个复随机变量Z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2，则它们的互相关矩为4.互协方差5.互相独立、互不相关、互相正交两个复随机变量互相独立需满足两个复随机变量互不相关需满足两个复随机变量互相正交需满足8.1.4复随机过程若X(t)和Y(t)为实随机过程，则Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程。复随机过程的数字特征：1.数学期望复时间函数2.方差实函数3.自相关函数4.自协方差函数当时，有由实随机过程广义平稳定义可直接类推出

4、复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件：则称Z(t)为广义平稳复随机过程。1.互相关和互协方差函数若，则称Z1(t)和Z2(t)互不相关。若，则称Z1(t)和Z2(t)互相正交。若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有2.功率谱密度平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。8.1.5解析过程定义：由实随机过程作为复随机过程的实部，的希尔伯特变换作为的虚部，即这样构成的复随机过程为解析随机过程。其中解析过程的性质：1.若为广

5、义平稳过程，则也是广义平稳过程，且、联合平稳。2.3.可得4.奇函数5.6.7.8.8.2窄带随机过程窄带过程的定义：若一个随机过程的功率谱是集中在以为中心频率的有限带宽内，并满足，则称它为窄带随机过程。8.2.1窄带随机信号的表达式一个典型的确定性窄带信号可表示为其中，为幅度调制或包络调制信号，为相位调制信号，它们相对于载频而言都是慢变化的。对于窄带随机信号，它的每一个样本函数都具有上式的形式，则所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为式中，是窄带过程的包络，是窄带过程的相位，它们都是随机过程，而且它们相对是慢变随机过程。将

6、式子展开，得令，则有这是窄带过程常用的表示形式。可得8.2.2窄带随机过程的统计特性假设是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于都是慢变化过程，则很明显相对于为慢变部分。已知，根据希尔伯特变换性质有，由上两式可得可见，可以看作经过线性变换后的结果。结论1：是均值为0的平稳过程，则也是均值为0的平稳过程。结论2：的自相关函数相同，且与具有相同的平均功率，即它们的方差相同。结论3：集中在，所以是低频过程，故结论4：若窄带过程的单边功率谱是关于对称的，则有结论5：是联合平稳的，且互相关函数为奇函数，

7、。此外，在同一时刻，之间是正交的。结论6：若窄带过程的单边功率谱是关于对称的，那么的互相关函数和互功率谱恒为0，两个低频过程正交，即。8.3窄带高斯过程的包络和相位的分析在本节的讨论中，假定窄带正态过程的均值为零，方差为，功率谱相对于中心频率是对称的。8.3.1窄带高斯过程的包络和相位的一维概率分布已知窄带过程的一般表达式为由上节的讨论可知，可以看作经过线性变换后的结果，即因此，若为高斯过程，则也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差。又根据上节的讨论，在同一时刻是互不相关的，又因二者是高斯过程，根据高斯过程的性质，它们在同一时刻

8、也是互相独立的。设分别表示在t时刻的取值，则其联合概率密度为又设分别为包络和相位在t时刻的取值，则和的联合概率密度为由于可得由此得包络的一维概率密度为为瑞利分布。相位的一维概率密度为为均匀分布。从上述分析可以看出这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独