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《数列通项公式求法学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列通项公式的常见求法学案一、观察归纳法：观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例1写出下列各数列的一个通项公式。⑴⑵⑶⑷21,203,2005,20007，…；⑸0.2,0.22,0.222,0.2222，…；⑹1,0,1,0，…；⑺二、公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式例2．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由
2、①②得：，∴练一练：1.已知等差数列的公差大于,且是方程的两根,数列的前项和为,且.求数列,的通项公式；三、累加法：若求，f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数形式的函数。（1）若f(n)是常数，则为等差数列，利用等差数列通项公式即可；若f(n)是关于n的一次函数，累加后转化为等差数列求和。例3已知的首项，（）求通项公式。解：……∴练习：已知数列满足，，则=________；（2）若f(n)是二次函数形式，累加后利用分组求和。例4已知数列满足求（补充：）（3）若f(n)是含指
3、数函数形式，累加后转化等比数列求和。例5已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以练习：已知中，，，求。（4）若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例6在数列中，练习：已知数列满足，，求此数列的通项公式.四累乘法○。------------ 适用于：的形式，其中f(
4、1)﹒f(2)﹒f(3)…f(n)的值可求。例7，练习：1、2、（提高）数列各项均为正数，且五、构造法（1）形如的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为A的等比数列后，再求。（i）若A=1时，数列{}为等差数列；若B=0时，数列{}为等比数列;（ii）时方法：令，则，则为公比等于A的等比数列，利用公式求解。例8已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习1已知，求；(2)形如：(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即
5、：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即：,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为类型(1)来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例9已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，
6、即解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略练习：1、已知中，扩展视野：（3）形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案：.六、倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。分子只有一项例11：解：取倒数：是等差数列，练一练：1.已知
7、数列中，a≠０，a＝，a＝ （n∈N） 求a七、阶差法（逐项相减法）递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例12．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：1.数列满足，求；2、已知数列中,且,求数列的通项公式.
