数列通项公式的求法

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1、等差数列与差比数列的通项公式类型一：等差数列与等比数列的通项：公式练习：类型二：类等差（比）数列,方法：累加(乘)一、若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析式，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.(2011年厦门质检)已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝______.解析：由条件an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，即an＋1－an＝2n－1，得a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－1－an－2＝2n－5，

2、an－an－1＝2n－3，以上n－1个式子相加并化简，得an＝a1＋(n－1)2＝n2－2n＋21.答案：n2－2n＋21变式探究1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，求an.解析：当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1.将这n－1个式子累加起来可得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1，∴an＝a1＋2＋22＋…＋2n－1＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.当n＝1时，a1适合上式，故an＝2n－1.二、若数列有形如an＝f(n)·an－1的解析关系，而f(1

3、)·f(2)…f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.设{an}的首项为1的正项数列，且－n＋an＋1an＝0，求它的通项公式．解析：由题意a1＝1,an>0，(n＝1,2,3，…)，方法二:练习①②由②－①整理得再用累乘法也可以练习类型五：待定系数法求数列的通项：则可考虑待定系数法设构造新的辅助数列是首项为公比为q的等比数列，求出,再进一步求通项若数列有形如an＝pan－1＋q(n≥2，p，q为常数，pq≠0，p≠1)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an.具体思路：设递推式可化为an＋1＋A＝p(an＋A)，得a

4、n＋1＝pan＋(p－1)A，与已知递推式比较，解得A＝，故可将递推式化为an＋＝p（an-1+），构造数列{bn}，其中bn＝an＋，则bn＋1＝pbn，即＝p，所以{bn}为等比数列．故可求出bn＝f(n)，再将bn＝an＋代入即可得an.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.解析：解法一：∴数列{bn}为等比数列，又a1－3＝－2，点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bn＝an－3.(2)对数列递推式an＋1＝pan＋q，我们通常将其化为＝p，设bn＝an－A，构造数列{bn}为等比数列．，练习四

5、、递推式如an＝pan－1＋rqn(n≥2，pqr≠0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn，已知数列{an}满足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2.求an.解析：解法一：∵an＝4an－1＋2n,解法二：∵an＝4an－1＋2n，∴令an＋λ·2n＝4(an－1＋λ·2n－1)，(n≥2)，得an＝4an－1＋λ·2n，与已知递推式比较得λ＝1，∴an＋2n＝4，又a1＋22－1＝4，∴{an＋2n}是首项为4，公比为4的等比数列．an＋2n＝4·4n－1，∴an＝4n－2n＝22n

6、－2n.练习变式探究5．(2011年盐城模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，λ>0，得an＋1＝λan＋λn＋1＋2n＋1－λ·2n，所以数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.方法二：①②累加由①－②得五、递推式如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2，pq≠0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为an＋xn＋y＝p(an－1＋x(n－1)＋y)，再化为a

7、n＝pan－1＋(p－1)xn＋(p－1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列．(2011年济宁模拟)已知数列{an}中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….求数列{an}的通项．解析：∵点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，∴2an＋1－an＝n.①令an＋1＋x(n＋1)＋y＝(an＋nx＋y)，可化为2an＋1－an＋xn＋2x＋y＝0与①比较系数得x＝－1，y＝2.∴①可化为an＋1－(n＋1)＋2＝(an－n＋2)，变式探究6．(2010年丰台区模拟)在数列{an}中

8、，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)设bn＝an－n，求数列的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∵bn＝an－