2005年“卡西欧杯”全国数学竞赛试题

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1、2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题(2005年4月10日上午9：30－11：30)一．选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A.B.C.D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填，多填或错填均得零分）答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．1．如图.有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6.将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△ABC沿DE向右翻折，AE与BC的交

2、点为F，则△CEF的面积为()(A)2(B)4(C)6(D)8题12图2．若M=3x²-8xy+9y²-4x+6y+13(x，y是实数)，则M的值一定是()(A)正数(B)负数(C)零(D)整数3．已知I是△ABC的内心，A1B1C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°4．设A=，则与A最接近的正整数是()(A)18(B)20(C)24(D)255.设a，b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.

3、9＜＜9.1，则b²-a²等于()(A)171(B)177(C)180(D)182二.填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好12点整，则经过秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大．7．在直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则M的值等于．8．有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的

4、牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列．某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在底层，再把第三张丢掉，把第四张放在底层，如此下去，直至最后只剩的这张牌是．9．已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连结AD和BE，它们相交于点P．过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为．10．已知都是正整数，且．若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于．三、

5、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10kM的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h．试设计一种方案，通过计算说明这8人能够在停止检票前赶到火车站．12．如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C，D两点．连结BC，BD，

6、设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点．求证：题12图（1）；（2）△KPM∽△NQK．13．已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．14．从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a，b，c（），都有．