2006年中考第2轮综合复习05：代数几何综合题

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1、第二部分：综合复习综合复习五：代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M。⑴△ADC∽△EBA；⑵AC2＝BC·CE；⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C

2、DA＝∠ABE，∵，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB⑵过A作AH⊥BC于H(如图)∵A是中点，∴HC＝HB＝BC，∵∠CAE＝900，∴AC2＝CH·CE＝BC·CE⑶∵A是中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2，∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2　　　①∵AC2＝BC·CE，BC·CE＝8　　　　　②①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC，∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.【例2】

3、（2005，自贡）如图2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足．（1）求点A、B的坐标和AD的长；（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。解：（1）在y=2x+2中分别令x=0，y=0．得A（l，0），B（0，2）．易得△ACD≌△BAO，所以AD=OB=2．（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）．设过过B、A、C三点的抛物线为所以所以点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．【例3】（2005，重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（

4、0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　由题意，得解得所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10所以AP＝t，AQ＝10－2t1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以　＝　解得　t＝(秒)2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以　＝

5、　解得　t＝(秒)（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)＝－＋4t＝解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作PE⊥AB．【例4】（2005，南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个

6、动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．　∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．故　，即　∴⊿PBC面积＝　　　　又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝　　即　y，x的取值范围是0＜x＜10．（2）这个判断是正确的．理由：由（1）可得，⊿PAD面积＝⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．点拨：由矩形的两边长

7、6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了.Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）（280）1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（0，），B（－1，0）、C（0，1）中，若△DEF各顶点坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，－1），则下列判断正确的是（）A．△