拉普拉斯方程解

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1、拉普拉斯方程的解——分离变量法一．拉普拉斯方程的适用条件1．空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。2．在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。①若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势。②若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。则区域V中电势可表示为两部分的和不满足，但使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，边值关系还要用而不能用。二．拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1．直角坐标令一般令若考虑了某些边界条件（有限边

2、界）均与某些正整数有关，它们均可取1，2，…通解还要求取和后才行。若与无关，特解若，与无关。1．柱坐标仅讨论与无关。令解：有两个线性无关解和。单值性要求，只能取整数，令（正整数）通解：若，，。3．球坐标——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）l若不依赖于，即具有轴对称性通解为勒让德函数，…l若与均无关，即具有球对称性，则通解为：三．解题步骤1．选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2．分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3．根据具体条件确定常数（1）外边界条件：电荷分布有

3、限边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地）电荷分布无限，一般在均匀场中，（直角坐标或柱坐标）xyOV（2）内部边值关系：介质分界面上表面无自由电荷。四．应用实例（习题课）1．两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与无关)，一板接地，求两板间的电势和解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板接地，为参考点（2）定性分析：由于在处，常数，可考虑与无关。（3）列出方程并给出解：在区域，（4）方程的解：（5）定常数：(6)结果：显然满足和边界条件xyz常数，均匀场1．一对接地半无限大平板，相

4、距为，左端有一极板电势为V（常数），求两平行板之间的电势解：（1）边界为平面，选直角坐标系上、下两平板接地，为参考点同样若或（2）轴平行于两平板，且与无关，可设与无关。（3）确定常数A，B，C，D，k①（A，B不能全为零，否则与x无关）。②∴与n有关，上面解可写为通解③3．半径a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。xyzorθ解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r=a处（即）。选柱坐标系：对称性分析：①导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与无关。②柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会

5、终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿方向，可认为与z无关，当r=a时，则不选择零点也不影响求场。常数C的确定：∵∴[若选则（）]电场：在表面上④，由此或定出？两边同乘并从0→b积分：∵（正交归一性）∴（m=奇数）（m=偶数）令∴