2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

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1、2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分）1．数集{}中的取值范围是（）A．B．C．D．2．若，则的值是（）A．1B．C．D．3．函数的最小正周期为（）A．B．C．D．4．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的点数的数学期望值为（）A．3B．3.5C．4D．4.55．函数的图像如图，则下面关于符号判断正确的是（）A．B．C．D．6．被8除所得余数是（）A．0B．2C．3D．57．不等式的解集为（）A．B．C．D．8．当时，函数满足，则是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数-4-9．点在双曲线的

2、右支上，分别为双曲线的左右顶点，且，则等于（）A．B．C．D．10．正四面体中，，则直线和所成角是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知函数，则的解集为.12．数列{}的前项和满足，若，则等于.13．设平面内的两个向量互相垂直，且，又与是两个不同时为零的实数，若向量与互相垂直，则的极大值为.14．在某次商品的有奖销售活动中，有人获三等奖（），三等奖的奖品共有四种，每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是.三、解答题（共5小题，计66分）15．（12分）某人购房向银行贷款元，年利率为，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银

3、行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16．（12分）如图，斜三棱柱的侧面的面积为的菱形，为锐角，侧面侧面，且.-4-（1）求证；（2）求到平面的距离.17．（12分）设（为常数），方程的两个实数根为，且满足，.（1）求证：；（2）若，比较与的大小.18．（15分）如图，过原点作抛物线（）的两条互相垂直的弦，再作的平分线交于点.求点的轨迹方程.-4-19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为.它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第号点已被染红，则可按顺时针方向经过个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最

4、多可得到多少个红点？证明你的结论.-4-