2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

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1、2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、选C.解：关于的方程最多有两不同的解，从而，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有有三个不同的实数解.不妨设，由于关于直线对称，必有，，，故＝.2、选D.解：根据题意，令（1）（2）其中(1)得于是有以下三种可能：I经检验这组符合条件，此时IIIII综上所述，n只能取4.3、选A.解：对于正整数，被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；6被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，….所以，被7除所

2、得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个的值使能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高，从而，于是正四面体的高.5、选B.解：设双曲线的方程为半焦距为c，则由解得，这表明AB轴，又易知此时，结合解得双曲线的离心率6、选D.解：欲使方程有实根，应有.mn1234561ⅹⅹⅹⅹⅹⅹ2√ⅹⅹⅹⅹⅹ3√√ⅹⅹⅹⅹ4√√√√ⅹⅹ5√

3、√√√√√6√√√√√√如上表，适合条件的m,n共有19组，故.6二、填空题（每小题9分，共54分）1、1.解：由得，而，所以，又，故.2、.解：不妨设，则由条件，，于是，.由Cauchy不等式，，即，，所以，因此的最大值为（此时）.3、[10,18].解：由条件，有……①，而，所以问题即求在条件①下目标函数的最值.经从图像分析可知，由得到的交点A（3，1）为的最小值，即；由得到的交点B（5，1）为的最大值，即.因此，.4、.6解：设点，则.于是，，所以.由，知.故，即.5、64.解：令，得.已知等式两边同时对求导，得.再令，由上式得.因此

4、.6、160.解：设至少经过3点的直线有条，每条上的点数从多到少依次为：则由已知，有.又由知.当时无解；当时，解得；当时无解.故有1条直线过其中4点，1条过3点，即三角形个数为.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由，得，6于是.……………………5分从而===.……………………10分令，则比较系数，得x=1,y=0。于是，因此是以为首项，为公比的等比数列.………………15分从而，即.在上式中，令n=2009，得.……………………20分2、解：连结，易知椭圆内整点在轴上有两个、满足题意.……5分分别过点、作平行于直线的两条直线、，根据

5、三角形同底等高面积相等可知，符合条件的整点均在直线、上.易知，故直线、的解析式分别为，.…………………………………………………10分已知是椭圆内的整点，有.分别解与得，.……15分由是整点，且在直线、上，知为偶数，所以，在及中，分别有四个偶数.6故符合条件的整点的个数为8.………………………………………………20分3、解：（1）由知，当时，说明此时原函数是增函数，无极值，所以.……………………5分（i）当时，原函数的变化如下表：+0-0+（极大）（极小）从而由得，所以.…………10分（ii）当时，原函数的变化如下表：+0-0+（极大）（极小

6、）从而由得，所以.因此，由（i）（ii），.……………………………………15分（2）（i）当时，由得，即.（ii）当时，由得，即.…………………20分6