11-5对坐标的曲面积分

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1、对坐标的曲面积分第五节一、对坐标的曲面积分的概念及性质1.有向曲面的概念通常我们所遇到的曲面都是双侧的，如图曲面有上侧与下侧曲面有内侧与外侧莫比乌斯带(典型单侧曲面)播放现实生活中还存在着单侧曲面，如在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧．所以曲面有两类:1.双侧曲面；2.单侧曲面．对于双侧曲面我们可以通过曲面的法向量来例如，对于曲面z=f(x,y)，如果取它的法向量又如对封闭曲面，如果取它的法向量向外，这种决定了侧的曲面称为有向曲面．确定曲面的侧．向上，我们就认为取定曲面的上侧；我们就认为取定曲面的外侧．2.有向曲面在坐标面上的投影上侧下

2、侧左侧右侧前侧后侧设函数R(x,y,z)在有向光滑曲面Σ上有界，将曲面Σ任意分成n块有向小曲面在每一小曲面上作和式如果上述和式的极限存在，并且与曲面Σ的分法及点Pi的的取法无关，则称此极限值为函数R(x,y,z)在记作任取一点曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分，即3.对坐标的曲面积分的定义可以证明当被积函数在光滑曲面Σ上连续时，对坐标的曲面积分总存在．类似地可定义实际应用中常见的是下列组合形式：4.对坐标的曲面积分的性质性质1性质2前后侧左右侧上下侧内外侧则“一投、二代、三定号”二、对坐标的曲面积分的计算则则解例1计算其中是长方体表面的外侧．解的

3、外侧在的部分.例2计算三、两类曲面积分之间的联系则又因此又同理有从而有两类曲面积分之间的联系其中单位法向量．解例3本章小结一、曲线积分1.两类曲线积分的概念与性质2.两类曲线积分的计算3.两类曲线积分的联系4.格林公式及应用，二元函数的全微分求积．平面曲线积分与路径无关的条件，5.曲线积分的应用二、曲面积分1.两类曲面积分的概念与性质2.两类曲面积分的计算3.两类曲面积分的联系其中单位法向量.莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在

4、着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生

5、活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如莫比乌斯带(典型单侧曲面)现实生活中还存在着单侧曲面，如