数值分析27 常微分方程初值问题的数值方法

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1、第十章常微分方程数值解第一节求解初值问题数值方法的基本原理第二节高精度的单步法第三节线性多步法第四节一阶微分方程组的解法第五节边值问题的打靶法和差分法考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

2、(常数)。第一节求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解求解(10-1)最基本的方法是单步法单步法:从初值开始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.x0x1向前差商近似导数记为二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径1.数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法2.Taylor展开法忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式3

3、.数值积分法区间将区间积分隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。三、Euler法的改进及梯形公式梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数x0x2x1改进欧拉法/*mo

4、difiedEuler’smethod*/Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(nnnyxfhy+=1+nyStep2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+ny)],(),([211++++=nnnnnxfyxfhyy1+ny注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。局部截断误差:设是初值问题(10.1)的解,用单步法计算到第n步没有误差,即,则定义四

5、、单步法的误差分析和稳定性1.整体截断误差和局部截断误差整体截断误差:数值解和精确解之差整体截断误差除与步计算有关外,还与的计算有关分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:其中称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数称为单步法在点处的局部截断误差。定义若某算法的局部截断误差为，则称该算法有p阶精度。欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开:欧拉法具有1阶精度。类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度2.收敛性和整体截断误差若某算法对于任意固定的x=x0+nh，当h0(同时n)时有yny(xn)，则称该算

6、法是收敛的。定义例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为欧拉公式为对任意固定的x=xn=nh，有关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理定理:对IVP(10.1)式的单步法,若局部截断误差为,且函数对y满足Lipschitz条件,即存在L>0,使得对一切成立,则该方法收敛,且有由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶对改进的Euler法,于是有设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.例：考察初值问题在区间[0

7、,0.5]上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进欧拉法欧拉隐式欧拉显式节点xi1.00002.00004.00008.00001.60001013.20001011.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.234110

8、46.14421063.05901073.稳定性定义若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的/*absolutelystable*/。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/常数，可以是复数当步长