均匀分布和分布服从正态分布

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1、数学应用软件大型实验实验报告实验序号：日期：2012年6月20日班级信计100班姓名学号201020310216实验名称中心极限定理的理论证明问题背景描述：图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想

2、象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.图一：中心极限定律揭示了正态分布的意义：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。实验目的：中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和

3、的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。本次试验就是用具体的实验来进行验证大量随机变量的和近似服从正态分布，用100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布进行比较，作图来验证中心极限定理。又再1000个数来比较两个图来验证中心极限定理。实验原理与数学模型：实验原理：中心极限定律，其内容是：当N足够大的时候，N个具有方差和均值的独立随机变量的代数和服从正态分布率。也就是说不管这N个随机变量原来服从什么分布

4、率，只要他们具有方差和均值，他们的代数和总是近似服从正态分布，N越大，近似程度越高。中心定理之一是林德贝格-勒维中心极限定理，它的内容是：设是一列独立同分布的随机变量，记=，，，则中心极限定理成立，即所以由定理的条件知，它也被称为同分布的中心极限定理，同时可知德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是它的一种特殊情形。中心极限定理的第二个就是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是历史上最早得到的中心极限问题的研究成果。它的内容是：设为标准正态分布的分布函数，对，有其中。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。正态分布（normaldistribu

5、tion）又名高斯分布（Gaussiandistribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。正态分布函数表达式。均匀分布就是平均分布比如在区间（1,5）可以去任何值，就表示在（1,5）的取值概率是四分之一，也就是在该区间是均匀分布。数学模型：为了证明在n很大时，独立均匀分布的和的分

6、布近似服从正态分布，可以分别构造独立均匀分布的同分布函数和正态分布函数，将取符合均匀分布的100个数，然后绘制图，观察两者的拟合度。实验所用软件及版本：matlab7.0.1主要内容（要点）：方法一：一:用均匀分布函数生成随机数；二:利用均匀分布的和的函数命令normpdf画出均匀分布；三:利用均匀分布函数产生的100个数，计算出均值，标准差。四:利用期望值和方差，运用正态分布函数normrnd产生正态分布随机数。五:计算出正态分布产生的100个数的均值还有标准差。六:利用正态分布函数normcdf画出正态分布图。七:在图中比较两幅图的图形，得出结论。方法二：一：用rand生成区间（

7、0,1）上均匀分布的100个随机数二：用林德贝格-勒维中心极限定理内容，制作文件，列出程序，计算出符合均匀分布和的分布的100个数，并画出图形。三：利用rand所产生的100个数算出均值，标准差。四:利用期望值和方差，运用正态分布函数normrnd产生正态分布随机数。五:计算出正态分布产生的100个数的期望值还有方差。六：利用求正态分布的分布函数值normcdf的命令，画出正态分布图。七：比较均匀分布的和的分布的图和正态分布的图作比较，得出结论。方法三：一