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1、导数及其应用吴冰微积分基本定理曲边梯形的面积定积分定积分在几何、物理中的简单应用一、导数的概念及其几何意义(一)变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x!到x2的平均变化率:函数y=f(x)从X,到x2的平均变化率为，若心二易-%,，Ay=/(x2)-/(x,),易-x,则平均变化率可表示为2、函数y=f(x)在x=x0处导数：(1)定义称函数y=f(x)在x=xG处的瞬时变化率lim几〜+⑽__L^l=Hm为y=f(x)在x=Xo处导数，记作AxXx^()Ax/’（人）或/L=.vBP/U0）=lim^=lim心一＞0/（〜+Ay）
2、-/Cy0）(2)儿何意义：函数f(x)在点x处的导数/(x。)的儿何意义是在曲线y=f(x)上点(xQ，/z(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-yoz/'UyKxzxo).3、函数f(x)的导数：称函数广⑺=lim/(X+AY^/(X)为函数f(x)的导函数,导函数有Ar时也记作/。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；f(x0)=lim/(A°+AA；：H/U);知)Av方法二：先求导函数fx)=lim’(又+心)__£1^1，得令x=xo求fxG)Ax4、基本初等函数的导数公式运用讨导函数求导
3、法则和导数公式，求函数y=在幵区间(a，b)内的导数的基本步①分析函数y=/(x)的结构和特征；②选择怆当的求异法则和异数公式求异;③整理得结來。例题解析:解析:lim^-=Arlim2lv->02x+Ar%2(x+Ax)2Mi数导数y=c=0y=f(x)=xn(neQ)=nxn~ly=sinx=cosxy=cosx=-sinxy=/(X)=ax:=axAna(a>0)=f(x)=ex=exfM=ogaxf(-r)=—!—(a>01)xlnaif(x)=]nxf'M=-X_4_[[例13求函数的导数。2x+Ax%2(x+Ar)2K例23—质
4、点运动的方程为s=8-3r2。(1)求质点在fl，1+Atl这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=l时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法)分析：(1)平均速度为Az(2)t=l时的瞬时速度即x=8-3z2在t=l处的导数值。解答：(1)Vs=8-3r2一An•••△s二8-3(1+△t)2-(8-3X12)=-6△t-3(△t)2,v=—=-6-3Ar.AzAc(2)定义法:质点在t=l吋的瞬吋速度v二lim—=lim(-6-3A/)=-6^r->0At求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=/(O=(8-3^/=6r,当t=l时，v=-6Xl=
5、-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之问的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。[[例33已知曲线y二ix3+l，33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程。分析：切点座标切线斜率点斜式求切线方程解答••(1)•••P(2,4)在曲线y=上,H/=x233•••在点P(2,4)处的切线的斜率k=
6、v=2=4;•••曲线在点P(2,4)处的切线方
7、程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.1414(2)设曲线y=—x3+—与过点P(2,4)的切线相切于点A(xo，一x()3+—)，3333则切线的斜率々=/
8、v=Ao=V,•••切线方程为)，-(丄x03+i)(x-x。)，UPy-x^Ox-—xl+—°3324•••点P(2,4)在切线上，/.4=2x()2--x03+-,即义。—+4=0，••Xq+xj-+4=0，•••(xo+1)(xo-2)2=O解得x()=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0，y0)则切线的斜率为k=xG2=
9、4，x()=±2.切点为(2,4)，(-2，-4/3)•••切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：(1)解决此类问题•一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；(2)解决“过某点的切线”问题，~般是设出切点坐标解决。二、导数的运算导数运算法则1.[/(x)±t?(%)]=/'(%)±^'(x)2.[fM'gM]=fx)g(x)±f(x)gx)3./w/⑶g(x)—/U)g■⑺[g⑶]2(g(x)关0)复合函数的导数：复合函数的导数和函数w=的导数间的关系为乂=，即y
10、对X的导数等于y对w的导数与w对x的导数的乘积。复合函数的求导方法：求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基木函数的导数解决。①分析清楚复合
