不等式恒成立问题存在性问题讲义.doc

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1、导数及其应用吴冰曲边梯形的面积定积分定积分在几何、物理中的简单应用变速直线运动的路程导数与函数单调性的关系导数与极值最值的关系基本初等函数的导数公式，导数的运算法则微积分基本定理导数与函数单调性的关系导数与极值最值的关系基本初等函数的导数公式，导数的运算法则平均速度平均变化率割线斜率瞬时速度瞬时变化率切线斜率微积分基本定理导数导数解决不等式问题在生活中的实际应用一、导数的概念及其几何意义（一）变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，,

2、则平均变化率可表示为。2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为y=f(x)在x=x0处导数，记作（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0).3、函数f(x)的导数：称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；;方法二：先求导函数，再令x=x0求4、基本初等函数的导数公式运用可导函数求导法则和导数公

3、式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。函数导数例题解析：〖例1〗求函数y=的导数。解析：，=-。〖例2〗一质点运动的方程为。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析：（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。解答：（1）∵∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求

4、导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。〖例3〗已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。分析：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程解答：（1）上，且∴在点P(2,4)处的切线的斜率k==4;∴曲线在点P(2,4)

5、处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（1）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=（-），即∵点P(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，∴（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注

6、：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。二、导数的运算导数运算法则1．2．3．复合函数的导数：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。复合函数的求导方法：求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③

7、根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。例题解析：〖例4〗（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆。解：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－·y’＝３*（x）＇－x

8、＇＋５＇－９）＇·＝３*－１＋０－９*（－）·＝三、导数的应用1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜