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1、黑板上的排列组合用六种不同颜色涂一正方体，一面一色，且每面颜色不同，会有多少种涂法？用六种不同颜色涂一正方体，一面一色，不同面可以同色，会有多少种涂法？6*5*P(4,4)/4/6=302第四章Burnside引理和Pólya定理组合计数中遇到的困难找出问题通解的表达式困难引入母函数区分讨论的问题类型困难,区分同类性,避免重复和遗漏容斥原理避免重复计数如何区分同类举例红蓝两种颜色给正方形的四个顶点着色,存在多少种不同的方案?24若允许正方形转动,有多少种方案?分类：按红色点分类0个红点1种1个红点1种2个红点2种3个红点1种4个红点1种共6种3群(group)5伽罗华（Galois）Éva
2、risteGalois(1811~1832)引入群论新名词并奠定了群论基础非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题,得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。刘维尔在1846才领悟到其手稿中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一他的死使数学的发展被推迟了几十年这个人是上帝派来的，在人世间匆匆转了一圈，仅仅21年，却一不小心，开启了数学的一个新时代……..伽罗华在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数学运算归类，学会按照难易程度，
3、而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”http://baike.baidu.com/view/251169.htm64.1群的概念(1)群(group)定义给定集合G和G上的二元运算·，满足下列条件称为群。(a)封闭性(Closure)：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a·b=c.(b)结合律(Associativity)：任意a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c).由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c.(c)有单位元(Identity)：存在e∈G,任意a∈G.a·e=e·a=a.(d)有逆元(In
4、verse)：任意a∈G,存在b∈G,a·b=b·a=e.记为b=a-1.74.1群的概念(2)简单例子例G={1,-1}在普通乘法下是群。证：1)封闭性：1×1=1(-1)×(-1)=1(-1)×1=-11×(-1)=-12)结合律：成立3)单位元：14)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1例G={0,1,2,…,n-1}在modn的加法下是群.证：1)封闭性：除以n的余数只能是{0,1,2,…,n-1}，故封闭性成立2)结合律：成立3)单位元：04)逆元素：对任意元素a有(a+(n-a))modn=0,a的逆元a-1=n-a84.1群的概念例二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构成群
5、。其中Ta=cosasina-sinacosa证：1)封闭性：2)结合律：成立(TαTβ)Tγ=Tα(TβTγ)=TαTβTγ3)单位元：T0=4)逆元素：Ta的逆元即T-aTbTa=cosbsinbcosasina-sinbcosb-sinacosa=cosacosb-sinasinbsinacosb+cosasinb-sinacosb-cosasinbcosacosb-sinasinb=cos(a+b)sin(a+b)=T(b+a)-sin(a+b)cos(a+b)00194.1群的概念前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。有限群G的元素个
6、数叫做群的阶,记做
7、G
8、。设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。则称G为交换群，或Abel群。104.1群的概念单位元唯一e1e2=e2=e1消去律成立ab=ac→b=c,ba=ca→b=c每个元的逆元唯一aa-1=a-1a=e,ab-1=ba-1=e,aa-1=ab-1,a-1=b(d)(ab….c)-1=c-1…b-1a-1.c-1…b-1a-1.ab…c=e114.1群的概念(e)G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使得ar=e.且a-1=ar-1.证设
9、G
10、=g,则a,a2,…,ag,ag+1∈G,由
11、鸽巢原理其中必有相同项。设am=al,1≤m＜l≤g+1,e=al-m,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有ar=ar-1a=e.即a-1=ar-1.既然有正整数r使得ar=e,其中必有最小者，不妨仍设为r.r称为a的阶。易见H={a,a2,…ar-1,ar=e}在原有运算下也是一个群。12着色问题的等价类红蓝两种颜色给正方形的四个顶点着色,存在多少种不同的方案?24若允许正方形转动,有多少种方案?转动的表示？Rotate
