离散数学-群论-代数系统

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1、离散数学II群、环、域、格与布尔代数李占山计算机楼B522E-mail:zslizsli@163.com课程安排总学时：64讲课学时：64(1-16周,每周4学时)教材：《离散数学》孙吉贵等-----高等教育出版社参考教材:1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等-----高等教育出版社2《代数结构与组合数学》屈婉玲编著-----北京大学出版社3《离散数学习题集》(抽象代数分册)张立昂编著-------北京大学出版社4《应用近世代数》胡冠章编著-----清华大学出版社课程重要性离散思想考研课程计

2、算机等级考试课程程序员考试课程抽象思维能力的培养第一讲内容提要I.群论的出现及其创始者Galois、Abel,环论、域论与布尔代数II.近世代数的应用III.代数运算及其性质IV.代数系统I.群论的出现群论是现代数学非常重要的分支,群论产生的开端非常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇.这要从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:与一次方程的解得到原方程的解。

3、为此，人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.不过，由于一般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。二次方程的求根公式直至16世纪形如ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和塔尔塔里亚(Tartalia)彼此独立发现。后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔(Cardano)在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言，1545年将塔氏关于三次方程的解

4、法发表在自己的著作《大术》(ArsMagna)一书中.在三次方程求解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉里(Ferrari)所解决，也发表在这部书中。当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。但事情的发展似乎突然停了下来.虽然有很多数学家作出了努力,其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Euler),经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程的求根公式.由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是数学家们

5、开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测:“这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。群论的创始人伽罗华和阿贝尔Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。Abel（N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，

6、成绩优异。他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。阿贝尔1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》，1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很

7、多文章。阿贝尔当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被看成字母，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只好又返回柏林。阿贝尔克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝尔贫病交加地回到挪

8、威。次年4月6日患结核病不幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群阿贝尔18