第三讲 无理数与实数

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1、代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，，－1.010010001…，都是无理数。注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如、等。2．实数：有理数和无理数统称为实数。3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。a+b=0a、b互为相反数。②倒数：若，则称为a的倒数，0

2、没有倒数。、b互为倒数。③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即【典型例题】例1在实数3.14，，，，，0.10110111011110…，π，中，哪些是有理数，哪些是无理数？例2（1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－aB．实数m的倒数一定是C．若实数x、y，有，则x=yD．任何负数的倒数都小于它的相反数6例3的绝对值与的相反数之和的倒数

3、的平方为。例4设a、b互为相反数，但不为0，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，化简的结果是。例5试比较下列各组数的大小；①和②，，例6（1）实数a、b、c在数轴上的位置如下图，化简cb0a（2）当时，、、的大小顺序是（）A．B．C．D．例7（1）已知、为实数，且，求的值。（2）若，求的值。例8已知，，求a+b的最小值。【练习】A组1．小数，叫做无理数。2．大于的负整数是。3．的相反数是，绝对值是，倒数是。4．比较大小：－7－4（填“＞”，“＜”或“＝”）5．在数，，，，，，0.232232223…（两个3之间依次多一个2

4、）中无理数的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．下列命题中，正确的个数是（）①两个有理数的和是有理数；②两个无理数的和是无理数；③两个无理数的积是无理数；④无理数乘以有理数是无理数；⑤无理数除以有理数是无理数；⑥有理数除以无理数是无理数。A．0个B．2个C．4个D．6个67．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）①带根号的数是无理数；（）②一定没有意义；（）③绝对值最小的实数是0；（）④平方等于3的数为；（）⑤有理数、无理数统称为实数；（）⑥1的平方根与1的立方根相等；（）⑦无理数与有理数的和为无理数；（）⑧无理

5、数中没有最小的数，也没有最大的数。（）8．已知=，则x等于（）A．B．1.414C．D．9．已知实数x满足，则（）A．B．C．D．10．，，的大小关系是（）A．B．C．D．B组11．，，3.1416，0.5，,中，有理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．a为正的有理数，则一定是（）A．有理数B．正无理数C．正实数D．正有理数13．下列四个命题中，正确的是（）A．倒数等于本身的数只有1B．绝对值等于本身的数只有0C．相反数等于本身的数只有0D．算术平方根等于本身的数只有114．下列说法不正确的是（）A．有限小

6、数和无限循环小数都能化成分数B．整数可以看成是分母为1的分数C．有理数都可以化为分数D．无理数是开方开不尽的数15．代数式，，，中一定是正数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．是有理数时，一定有（）A．是完全平方数B．是负有理数C．是一个完全平方数的相反数D．是一个负整数17．－3的负倒数是（）A．3B．－3C．D．18．已知，，且，则的值为（）A．1B．±1C．5D．±5619．已知a为有理数，b为无理数，则a+b为（）A．整数B．分数C．有理数D．无理数20．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（）A．4B．±

7、4C．2D．±221．已知，则。22．=。C组23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的。24．若=，则=。25．若a=5，b=，则。26．比较下列各组实数的大小：（1）；（2）（3）（4）27．已知，求28．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数。求：的值。　　29．化简30．已知与互为相反数，求和的值。6D组31．已知、是实数，且与互为相反数。求：实数的负倒数。32．已知，求的算术平方根。33．若都是有理数，那么和（）（A）都是有理数（B）一个是有理数，另一个是无理数（C）都是无理数（D）是有理数还是无

8、理数不能确定34．已知实数满足，那么的值是（）（A）1991（B）1992（C）1993（D）199435．若，则。36．如果实数满足那么=。6【趣数什锦】第一次数学危机公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras