线段的垂直平分线、轴对称和轴对称图形、勾股定理

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1、数学驿站www.maths168.com线段的垂直平分线、轴对称和轴对称图形、勾股定理一、重点：线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、勾股定理难点：线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用1.线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理性质：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上结论：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理可以同角平分线的性质定理和逆定理对照进行理解，特别在

2、书写理由时要分清是用线段的垂直平分线的性质定理还是它的逆定理。2.轴对称和轴对称图形（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（也叫轴对称）。轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。轴对称和轴对称图形区别①涉及两个图形①一个图形②两个图形的特殊位置关系②一个具有特殊形状的图形联系①定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是

3、关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。（2）定理1：关于某条直线轴对称的两个图形是全等形定理2：如果两上图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。3.勾股定理勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系。勾肌定理的证明方法很多，

4、主要是用面积法进行证明。勾肌定理主要用来解决直角三角形中的计算问题。常见类型是已知两边x、y求第三边z，此时要注意第三边是直角边还是斜边。如果第三边是直角边，则：z2=x2－y2（或z2=y2－x2）；如果第三边是斜边，则：z2=x2+y2。常见的直角三角形边长：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（1，1，）（1，2，）数学驿站www.maths168.com注意：在上面的常见勾股数中稍作变化（如同时扩大或缩小相同的倍数）可得到更多勾股数，如（6，8，10）等。其中（1，1，）（1

5、，2，）对应的图形如右图。一、例题分析例1下列四个图形①等腰三角形②等边三角形③直角三角形④等腰直角三角形，其中一定是轴对称图形的有（）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个分析：等腰三角形是轴对称图形，所以①②④都是轴对称图形。答案：Ｃ例2完成下表：图形对称轴对称轴的数量线段等腰三角形等边三角形角正方形答案：图形对称轴对称轴的数量线段线段的垂直平分线和线段所在的直线２等腰三角形底边的垂直平分线（或顶角的平分线所在的直线）１等边三角形同上３角角的平分线所在的直线１正方形对角线所在的直线和边的垂直

6、平分线４注意：对称轴是一条直线，而角平分线是一条射线，所以要说成角平分线所在的直线。例3若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（）（A）2，4，6（B）4，6，8（C）6，8，10（D）8，10，12分析：此类题如果对常见勾股数及其变化较熟悉可快速作出判断，否则如若运用勾股定理进行计算就比较费时间。因此应当熟记以上所列的常见勾股数。例4直角三角形两直角边分别为5，12，其斜边上的高为（）（A）6（B）8.5（C）（D）分析：此题用面积法求解（如图）三角形的面积为×5×12，另一方面三角形

7、的面积也可表示为×13×h。用不同方法求同一图形的面积，其值应当相等，于是×5×12=×13×h。解得h=。答案：D。例5一个三角形的两个内角分别为45°和60°，如果45°角所对的一条边为6，那么60°数学驿站www.maths168.com角所对的边长是___________。分析：如图，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中∠C=60°，于是∠DAC=30°，∴CD=AC=3AD=3，在等腰直角三角形ABD中，AB=AD=。答案：例2如图，AB=AC,BC=5cm，CD是BC边上的高，BD=

8、3cm，求△ABC的面积。解：∵CD是BC边上的高∴△BCD、△ADC都是直角三角形∴CD2=BC2－BD2=52－32=16（勾股定理）∴CD=4cm设AD=x，∵AC=BC，∴AC=3+x∴AC2=AD2+CD2即：（3+x）2=x2+42解得：x=∴S△ABC=AB·CD=×（3+）×4=与勾股定理有关的问题经常要用设未知数列方程的方法来求解，几何问题常常要代数化。例3如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E。求证：