大数定律和中心极限定理应用题

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1、大数定律和中心极限定理应用题1.设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg，标准差为0.1kg，问(1)5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975?解设第z•只零件重为人.，/=1,2,...,500,则£=0.5,DXz=0.12500设X,则X是这些零件的总重量/=!£X=0.5x5000=2500,DX=0.12x5000=50由中心极限定理X-2500V50二卵，1)(1)P(X>251

2、0)=P(JV-2500V50>2510-2500-750-1-<1>0(72)=1-0.9213=0.0787(2)设汽车载重量为6Z吨P(X0.95查表得67~^£0()>1.64V50计算得«>2511.59因此汽车载重量不能低于2512公斤2.有一批建筑房屋用的木柱，其屮80%的长度不小于3m,先从这批木柱屮随机的取100根，求其中至少有30根短于3m的概率？解设X是长度小于3m的木柱根数，则X〜/?(100,0.2)由屮心极限定理x"；V(20,16)«1-4

3、)0(2.5)=1-0.9938=0.00623.一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3,0.2,0.5.若售岀300只蛋糕，(1)求收入至少400元的概率(2)售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。解设第/只蛋糕的价格为人，/=1,2,...,300,则X,.有分布律:X：11.21.5P0.30.20.5由此得£(%,•)二1.29£(X,2)=1.713故D(XZ)=£X,2-(£XZ)2=0.0489300(1)设x

4、是这一天的总收入，则％=£'./=1300£X=^£XZ=300x1.29'•=1300DX=^DX.=300x0.0489/=1由中心极限定理X:2V(3OOx1.29,300x0.0489)P(X>400)=P(5-3QQXl-29>4?Q-3QQX1-29)7300x0.04897300x0.0489-1-O0(3.39)=l-0.9997=0.0003(2)以y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕只数，于是y〜/?(300,0.2)r-300x0.27300x0.2x0.8〜卵，1)p(y>60)=pr-300x

5、0.27300x0.2x0.860-60〕>_73T^l-d)0(0)=0.54.设某种商品第n天的价格为Yn，令Xn=Yn+l-Yn，Xn独立同分布，且Xn期望是0,方差是2,若该商品第一天价格是100,则第19天价格在96到104之间的概率是多少？解：所以IXm-100n=l181818Xn=YDXn=36n=ln=ln=l由屮心极限定理，"96<心<104):以

6、心-100

7、<4)4<—618H=l18'1=11818EX/?-Xfl<4n==-2(D——1=0.4972UJ5.(10)一枚均匀硬币至少要抛多

8、少次，方能使正面出现的频率和概率之间的差的绝对值不小于0.05的概率不超过0.01?请分别用(1)切比雪夫不等式，和(2)中心极限定理给出估计。解设至少要抛n次；“n次抛硬币屮出现正面的次数”，则X〜B(",0.5)，EX=0.5z?,DX=0.25n,正面出现的概率是p=0.5;-=“n次抛硬币中出现正面的频率”，n于是£乙0.5,心：⑵nnn(1)由切比雪夫不等式fXp0.5>0.05n7"00^100n由—<0.01,H>10000n即至少要抛10000次。(2)由中心极限定理，X:7V(O.5zi,0.25/7

9、),七，.5,⑵)，nnXa025--O.5^7V(O,nn所以PX-0.5n>0.05/-2=2(1-o(o.iV^))()(2.58)=0.995,由于OQ(x)单调增，故O.h/^22.58，解得n>665.64因此至少要抛666次5.根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为80%,服务台共接受了2500个电话预约，请分别用（1）切比雪夫不等式，和（2）中心极限定理估计实际入住的人数在1950〜2050之间的概率。解设随机变量“250

10、0个电话预约的客户实际入住的人数”，则X〜5(2500,0.8),EX=2000,DX=400(1)由切比雪夫不等式，得P(1950

11、<50)>1-^=1-=0.84a(2)由中心极限定理，得X〜2V(2OOO,400)，P(1950