指数方程及对数方程

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1、指数、对数方程练习与解析【知识点】1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。3.指数方程的基本类型：（1）其解为；（2），转化为代数方程求解；（3），转化为代数方程求解；（4），用换元法先求方程的解，再解指数方程。4.对数方程的基本类型：（1）,其解为；（2），转化为求解；（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程。典型例题【例1】解下列方程：(1)9x+6x=22x+1；(2)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log

2、(2x+1)；(3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2.【解前点津】(1)可化为关于（）x的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x-1的一元二次方程.【规范解答】(1)由原方程得：32x+3x·2x=2·22x，两边同除以22x得：()2x+（）x-2=0.因式分解得：[（）x-1]·[()x+2]=0.∵()x+2>0，∴()x-1=0，x=0.(2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，

3、经检验知：x=0为原方程解.(3)log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2)9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.经检验x=2是原方程解.【解后归纳】指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.【例2】解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.【解前点津】利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.【规范解答】化原方程为：∵a>，∴

4、a2+6a-3>+6×-3>0，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=±即x=a±(a>).【解后归纳】含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.【例3】解关于x的方程：a2·4x+(2a-1)·2x+1=0.【解前点津】令t=2x，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.【规范解答】①当a=0时，2x=1，x=0；②当a≠0时，Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a；若Δ≥0则a≤(a≠0).且关于t的一元二次方程a2·t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为>0，故两根之和为正数，即>0a<

5、，故a≤(a≠0)时，2x=，故a≤(a≠0)时，x=log2为原方程之根.【解后归纳】方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.【例4】当a为何值时，关于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1.【解前点津】令y=2x，则问题转化为：关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍.【规范解答】令y=2x，∵x1=x2+1，故2=2·2，即y2=2y1，故关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为

6、m，2m.由.【解后归纳】在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入不等式检验便知真伪.例5．（1）方程的解集为；（2）方程的解集为。解：（1）设，则。。（2）。注意：在对数方程求解过程中，有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增根或失根，故对数方程求解后必须检验。例6．关于的方程在区间上有解，求的取值范围。解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。解：由，得，因为方程在上有解，所以在函数的值内取值即可，不难求得其值域为，所以。例7．解关于的方程。解：原方程可化

7、为，设则（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，。练习：一、填空题1．方程的解是。2．方程的解集为。3．方程的解集为。4．方程的解集为。5．方程的解是___________________。二、选择题6．方程的根的情况是()(A)仅有一个正根(B)有两个正根(C)有两个负根(D)有一个正根和一个负根7．方程的解为()(A)(B)(C)(D)8．方程的解是()(A)(B)(C)9或-11(D)-99三、解答题9．若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。10．若，求的值。11.解方程:12.已知lny-ax=lnc,求证:y=c对数指数方程测试一．选择题:1．下面

8、四个方程：(1)(2)(3)(4),其