复数及复变函数

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1、CH1复数及复变函数1、复数及其代数运算2、复数的表示方法3、复数的乘幂与方根4、区域5、复变函数6、复变函数的极限与连续性1.复数的概念§1复数及其代数运算3.共轭复数2.代数运算一般任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)判断复数相等定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代

2、数运算四则运算定义z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即：共轭复数的性质3.共轭运算定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)例1例21.代数形式§2复数的表示方法§3复数的乘幂与方根4.指数形式3.三角形式2.几何形式1.代数形式（点表示）点的表示：数z与点z同义.2.几何形式（向量表示）oxy(z)P(x,y)xy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边

3、,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.z=0时，辐角不确定（不定义）计算argz(z≠0)的公式当z落于一,四象限时，不变.当z落于第二象限时，加.当z落于第三象限时，减.oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角形式⑴乘积与商设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]因此

4、

5、z1z2

6、=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到

7、z2

8、倍.oxy(z)z1z2z2定理1可推广到n个复数的乘积.设z=r(cosnθ+isinnθ)，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ).⑵复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）.定义特别：当

9、z

10、=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ----棣模佛(DeMoivre)公式.问题给定复数z，求所有的满足ωn

11、=z的复数ω.⑶复数的方根（开方）－乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.xyo4.指数表示法模一个辐角注意：复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.例1例2例3例4此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例5用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2

12、)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞0为半径的圆

13、z-z0

14、<δ(或0<

15、z–z0

16、<δ)内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域.记为Ｕ(z0,δ)即，说明内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点.设G是一平面上点集外点若存在某邻域Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都不属于G，则称z0是G的外点.界

17、点对于z0的任意邻域Ｕ(z0,δ)中既有属于G的点，又有不属于G的点，则称z0是G的界点.内点外点界点开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集.连通是指区域设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域.D-区域边界与边界点对于点集D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界.P有界区域与无界区域若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={