2000-2011年全国高中数学联合竞赛试题及答案

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1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．2．函数的值域为．3．设为正实数，，，则．4．如果，，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．8．已知C，则数列中整数项的个数为．二、解答题：本大题共

2、3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，，求的值．10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．yxOPAB11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）101ABCDQP一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性

3、质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．证明：．四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．1011011011011011012010年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，）1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.3.双曲线的右半支与直线

4、围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.5.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.8.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数，当时，，试求的最大值.10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积

5、的最大值.11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.101加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2.（40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．3.（50分）给定整数，设正实数满足，记．求证：．4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂

6、染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.提示：令，则原函数化为，即.由，，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为101.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从

7、而，求得，.5.提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.101设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.解法二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先