探究函数中恒成立问题的求解方法

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1、探究函数中恒成立问题的求解方法摘要：木文结合只体的例题阐述了函数中恒成立问题的求解方法。关键词：分离参数；转化；最值；恒成立作者简介：李晋，任教于陕丙省丙安市阎良区丙飞第一中学。函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用。恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。一、利用取特殊值求解例1:若函数的图

2、像关于直线对称，那么（）0A.1B.C.D.略解：取及，则，即，故选B。此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。二、通过转化变量利用一次函数单调性求解给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（线段）（如下图），可得上述结论等价于i）,或ii）,可合并成同理，若在内恒有，则有例2:对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为在吋恒成立，设，则在上恒大于0,故有：即解得：∴

3、或。即。此类题本质上是利用了一次函数在区间上的图像是一线段，故只需保证该线段两端点均在轴上方（或下方）即可。三、利用二次函数判别式、韦达定理及根的分布求解对于二次函数，在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即恒成立；恒成立。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例3:若函数的定义域为R，求实数a的取值范围。分析：该题就转化为被开方数在上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。解：依题意，当恒成立，所以，①当此吋②当有综上所述，的定义域为吋，。对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问

4、题往往转化为求函数在此区间上的最值问题。四、通过分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有恒成立，则。（其中和分别为的最大值和最小值）例4:已知三个不等式①，②，③，要使同吋满足①②的所有的值满足③，求的取值范围。略解：由①②得，要使同吋满足①②的所有的值满足③，即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以。利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题。五、利用数形结合思想方法直观求解例5:的取值范围。分析：设，即转化为求函数的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围。

5、解：令在直角坐标系中画出图像如图所示，由图像可看出，要使只需。故实数本题中若将改为：①，同样由图像可得a>3;②，构造函数，画出图像，得a<3。利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，做出符合己知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图像之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。六、利用不等式求解例6:己知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为。解析：只需求的最小值大于等于9即可，又，等号成立仅当即可，所以，即，求得或（舍去），所以，即的最小值为4。恒成立的题型和解法还冇很多，只要我们充分利用所给定函数的特点和性质,具体问题具体分析，选用恰当的

6、方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。作者单位：陕西省西安市阎良区西飞第一中学邮政编码:710089Problem-SolvingMethodsinPermanentEstablishmentofFunctionsLIJinAbstract:Thispaperexpoundsproblem-solvingmethodsinpermanentestablishmentoffunctionsbasedonspecificexamples.Keywords:separated-parameter;transformati

7、on;maximaandminima;permanentestablishment