【精品】函数中“恒成立”问题求解对策十种

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1、函数中“恒成立”问题求解对策十种门德荣本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。一.利用函数思想例1.已知f(a)=(x-1)log32a-6xlog3a+x+1,当xe［0,1时，/'(d)恒为正数，求a的取值范围。分析：从表面结构看/(a)是一个以log3a为变量的二次函数，而实质是变量x的一次函数，因此可构造x的一次函数求解。解：原式变形为g(x)=(log32a-61og3a+l)x+1-log32a因为g(x)在区间［0,1］上恒正，所以g(O)>0且g(l)>0,B

2、J1-log32a>0且l-31og3a>0WW-

3、V33二.分离参数法例2.设r〉0,00,如果对满足二•+笃=1的x,y,不等式2a2b2x2-2rx+y2>0恒成立，求r的取值范围。解：令x=acos0y=bsin0因为x〉0,故不妨设一-<0<-,代入x2-2rx+y2>0^22a2cos2。一2arcosO+b2sin20>0B

4、Jr<2aCOS&+b22acos&上式对(一彳，勺内的一切&都成立，故对上述区间内的f(&)=COS&+的最小值也成立2a2acos0因为一-0所以f(0>—•2J(a2-b2)cos^*——=—7a2-b22aVcos0a

5、当COS&二/b=时等号成立(因为0Vbv返a,所以,b<1)所以f(0)的最小值是-Va2-b2a所以r<—7a2-b2一.判别式法例3・已知函数f(x)=x2-(m+5)x+2(m+5)在其定义域内恒为非负，求方程2X=lm-21+1的根的取值范围。m+1解：因为/(兀)恒为非负，则厶=(m+5)2-8(m+5)50解得-5

6、—log,(a-1)+—,对一切大于1的自然数nn+1n+22n12a3恒成立，试确定参数a的取值范围。分析：显然，只需令函数f(n)=-!—+丄+・・・+丄的最小值不小于n+1n+22n19—log〔(a—1)—即可。12a3解：设f(n)=—-—+—-—+…+—(neNftn>1)n+1n+22n因为f(n+I)-f(n)=—-—+=>02n+l2n+2n+1(2n+l)(2n+2)7所以,5)是增函数，所以nw

7、N,且n〉l吋，f(n)>f(2)=—112要使f(x)>-loga(a-l)+-对-切大于1的自然数n恒成立127必须有-loga(a-l).-<-所以loga(a-1)<-1因为a〉1解得lvaS土§即a的取值范围是1,1+V52一.(1)利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件例5・已知P=(log2x-l)(logab)2-61og2x•logab+log2x+1(其屮a为正常数),若当x在区间［1,2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。解：P变形为设t=log2x,贝Ijte[o,1]P=f(t)=[(logab)2-61ogab+l

8、]t-(logab)2+1因此，原题变为当t在区间[0,1]内任意取值吋，/(/)恒为正，求b的取值范围。由充要条件，当f(logab)2-61ogab+I=0⑴[-(logab)2+l>0或ff(0)=-(logab)2+l>0(2)[f(l)=-61ogub+2>0时f(t)恒为正解(2)得-ll吋，—

9、-3)+f(4m-2mcos0)>f(0)对所有的〃都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。解：因为/&)为奇函数，且在［0,+oo］上是增函数所以心)在(—00,+8)上为增函数，且由f(0)=f(-0)=-f(0),得2f(0)=0,即f(0)=0,由此原不等式可化为f(cos2&-3)>f(2mcos&-4m)cos20-3>2mcos0-4mcos2&-mcos0+2m-2>0设t=cos0,因为所以te［-l,1］于是问题可化为：当tw［-1,1］时，不等式g(t)=t2-mt+2m-2>0是否成立。依充要条件有：A=m2-8

10、m+8>0(1)h(l)=m-l>0m—>112或*A=m2-8m+8>0(2)^g(-l)=