基本不等式柯西不等式知识点复习

《基本不等式柯西不等式知识点复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件≤a>0，b>0a＝b三、常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤()2(a，b∈R)(3)≥()2(a，b∈R)(4)＋≥2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.四、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a

2、，b∈R+：当且仅当a＝b时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2.(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.强调：1、“积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.第7页共7页正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？3、已知两正数

3、x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．【错因分析】　错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】　z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0

4、页共7页误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－2而不是有最小值1＋2.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0

5、“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知均为正数，求证：（2）已知为不全相等的正数，求证：（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.第7页共7页练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.考点2　利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会

6、出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4：(1)设00，(2)x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求xy的最大值.4）已知＋a，求的取值范围．．(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．第7页共7页练习：求下列各题的最值．(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；(2)x0，求f(x)＝＋3x的

7、最大值；(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．（4），求的最大值。考点3　利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．例3：（1）已知,，求的最小值。（2）已知，求的最大值。（3）已知，，求的最大值。（3）已知，，求的最小值及相应的的值。第7页共7页考点4　基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关