信号与系统教案第3章 1

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1、第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质点击目录，进入相关章节第三章离散系统的时域分析连续离散描述线性微分方程线性差分方程经典法求解齐次解+特解齐次解+特解系统分析运算卷积积分卷积和基本信号基本响应h(t)g(t)h(k)g(k)第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分

2、方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：3.1LTI离散系统的响应（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(

3、k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)因此，可定义：3.1LTI离散系统的响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0

4、f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……一般不易得到解析形式的(闭合)解。3.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+

5、an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分构成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)齐次解是齐次差分方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0的解。yh(k)的函数形式由上述差分方程的特征根确定。齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an

6、-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。3.1LTI离散系统的响应2.特解yp(k):例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)

7、=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/43.1LTI离散系统的响应3.1LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应对于零输入响应，由于激励为零，故有:3.1LTI离散系统的响应例：若描述某离散系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态

8、响应和全响应。解：（1）yx(k)满足方程yx(k)+3yx(k–1)+2yx(k–2)=0其初始状态yx(–1)=y(–1)=0,yx(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=–3yx(k–1)–2yx(k–2)yx(0)=–3yx(–1)–2yx(–2)=–1,yx(1)=–3yx(0)–2yx(–1)=3方程的特征根为λ1=–1，λ2=–2，其解为yx(k)=Cx1(–1)k+Cx2(–2)k将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=–2所以yx(k)=