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1、小议抽象函数的性质 预备知识:对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)=f(x)总成立,则f(x)是周期函数。T是f(x)的一个周期,若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。 一、函数的对称性 定理1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。 推论1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a-x) (或f(2a-x)=f(x)),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。 定理2.若函数y=f
2、(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对称。 推论1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(a-x)=0,(a为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称。 二、抽象函数周期的求法 由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决,大致分为以下几个类型: 1.型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b) 分析:用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即f(x)=f[
3、x+(b-a)]所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。 2.型如f(x)=-f(x+a)(a≠0) 分析:条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换得f(x+a)=-f(x+2a),则所以f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。 3.型如f(x)=(a≠0) 分析:与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x用x+a替换
4、得f(x+a)=,则f(x+2a)==f(x) 所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期. 从以上可发现求周期,主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.三、抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系 2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用。 1.设条件A:定义在R上的函数f(x)是一个偶函数。条件B:f(x)关于x=a对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个。证明:①已知A、B→C(2001年高考第22题第二问)∵f
5、(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函数看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢?
6、经分析可得: 2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称,则f(x)是周期函数,4a是其一个周期。证明:∵定义在R上的奇函数f(x)∴f(-x)=-f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a)(替换+代入)故f(x)是周期函数,4a是其一个周期。奇函数本身是一个中心对称图形,关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称,再加对称性是否也可推出周期性吗?经分析可得: 3.f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称(a≠b),则f(x)是周
7、期函数且4(b-a)是其一个周期。若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢? 4.定义在R上的f(x)关于(a、0)和(b、0)都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a)是一个周期。证明:∵定义在R上的f(x)关于(a、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)又∵定义在R上的f(x)关于(b、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)∴f(x)是周期函数且2(b-a)是其一个周期将原条件换成关于x=a,x=b对也行,结论成立。综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密,灵活运用可简化题目难度。 例1.f(x)是R上的奇函数f(x)=-f
