浅谈抽象函数的性质

《浅谈抽象函数的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈抽象函数的性质【摘要】抽象函数指一类只给出具冇某类特征或性质，用一种符号表示的函数，这类函数没有给出或没有具体的函数解析式，是高中函数部分的重要知识点，也是高考的一个热点•学生在此Z前己经对函数的对称性和周期性有了初步的理解，但是认识比较肽浅，缺乏全面深入的研究.【关键词】高屮数学；函数；单调性抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质，用一种符号表示的函数，这类函数没有给出或没有具体的函数解析式，是高中函数部分的重要知识点，也是高考的一个热点•做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.由于抽象

2、函数的抽象性和隐蔽性，让大多数学生感到无从下手，本文对抽象函数的性质进行了详细的归纳小结，有助于从总体上把握抽象函数的性质.一、抽象函数的定义域解决抽象函数定义域问题，必须明确抽象函数的定义，运用整休等价转化的思想.若函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数f(X-1)的定义域为.分析由题意知-1WX-1W2,求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域.解•・•函数f(x)的定义域为[-1,2],・・・-1Wx-1W2,解得OWxW3.・・・所求函数的定义域是[0,3].点评木题的考点是抽象函数的定义域的求法，有两种类型：1.已知

3、f(X)定义域为D,则f(g(x))的定义域是使g(x)WD有意义的x的集合；2.已知f(g(x))的定义域为D,则g(x)在D上的值域，即为f(x)定义域.二、抽象函数的值域求解抽象函数的值域首先明确值域由定义域和对应法则决定，然后结合抽象函数的其他性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)进行求解.例2已知定义在R上的奇函数f(x)满足2x=al-f(x)-1,则f(x)的值域是.分析先由f(x)为奇函数求出b,得到f(x)表达式，由2x>0及函数的单调性可求岀f(x)的值域.解由2x=al-f(x)-1,得f(x)=l-a[]2x+

4、l.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.所以0=1-a2，解得a二2,f(x)二1-2[]2x+l・因为2x>0,所以0〈2[]2x+l〈2,-2〈-2[]2x+l〈0,-l

5、xl)-f(x2)的解析式到因式乘积的形式，判断符号，得出结论.解(1)・・・f(x)的定义域为R,设xl

6、.例4若函数f(x)对一切x,y都冇f(x+y)=f(x)+f(y)・(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a,用a表示f(12)・分析(1)判断f(x)奇偶性，即找出f(-x)与f(x)之间的关系,・••令y二-x,有f(0)=f(x)+f(-x),故问题转化为求f(0)即可，可对x,y都赋值为0.(2)由于知晓f(-3)=a,故解木题关键是找出f(12)与f(-3)Z间的关系，注意用(1)的结论.解(1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称•又•・•函数对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),・••令x=y

7、=O,得f(0)=2f(0),Af(0)二0.再令y二一x,得f(0)二f(x)+fOx),・・.f(-x)=-f(x)・・If(x)为奇函数.(2)Tf(-3)二a且f(x)为奇函数，・・・f(3)二-f(-3)二-a.又・・・f(x+y)二f(x)+f(y),x,yER,・・・f(12)=f(6+6)二f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.故f(12)=-4a.点评本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，在第二问的求值屮根据恒等

8、式的结构把已知用未知表示出来，做题时注意体会抽象函数恒等式的用法规律.我们研究抽象函数主要从抽象函数的概念和性质进行研究，可类比初等函数的学习方法进行学习，虽然抽象函数的抽象性和多边性使得抽象函数的求解非常困难，但事实上