抽象函数的性质应用

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1、抽象函数的性质应用一、利用函数的单调性例2・设函数f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>l,且对任意m』WR,有f(m+n)=f(m)f(n),当m#n时，f(m)^f(n)o⑴证明：f(O)=l；(2)证明：f(x)在R上是增函数；(3)A={(x,y)

2、f(x2)f(y2)

3、f(ax+by+c)=l,a,b,cUR，a#0}o若ACB=0,求a,b,c满足的条件。分析：⑴令m=n=O,得f(O)=f(O)f(O),Z.f(0)=0或f(O)=l。若f(0)=0,当m^O时，有f(m)=f(m+O)=f(m)f(O)=f(O

4、)?这与m^n时，f(m)^f(n)矛盾。/.f(O)=1o(2)设Xi0o由已知得f(x2-xi)>loTXi>0时，f(xi)>lo当Xi<0时，-xpO,f(-Xi)>l,/(J!)>0f(O)=f(X[+(・X]))=f(Xi)xf(・Xi),,即对任意的X1，总有f(Xi)>0,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)Xf(x2-x1)>f(x])O/.f(x)在R上为增函数。(3)・・・f(x2+y2)=f(x2)f(y2)

5、由①，②消去y,得(a2+b2)x2+2acx+c2-b2<0o••・AAB=0,•••A=(2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2)-0,故所求条件为a2+b2-c2o二、利用函数性质，解/(")的有关问题1•判断函数的奇偶性：例7已知/(兀+刃+/(兀-刃=2/(兀)/()，),对一切实数兀、y都成立，且/(0)工0,求证/⑴为偶函数。证明:令兀=0,则已知等式变为/(『)+/(-勿=2/(0)/(刃……①在①中令y=0则2门°)=2兀°)•・•几°)工o・•・/(°)=1.・・/(>9+/(-?)=2/(y).・.f(-y)=f(y).・.门兀)为偶函

6、数。2•确定参数的取值范围例8：奇函数门兀)在定义域(-1,1)内递减，求满足门1-加)+/(1-莎)<0的实数加的取值范围。解：/(I-m)+/(I-m2)00,尹=0,贝

7、J/W=O?与/

8、W>1矛盾所以/(0)叫即有7(0)=1当X>0吋，/W>1>0.当XV0吋，一XA0,/(-X)AlA0而4)•心"(0)=1''>0又当兀=0时，/(0)=1>0所以对任意xeR,恒有/W>°设一000,/(x2一心)Al所以/(乃)=/［心+(乃-^1)］=了01)/(兀2-心)>/(xj所以》=/(")在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例7.已知函数畑ZR、“°)对任意不等于零的实数

9、心、乃都有/(x1.x2)=/(x1)+/(x2)>试判断函数f(x)的奇偶性。解：取心"1，乃=1得:/(-!)=/(-!)+/(!),所以八)=0又取心"2=-1得:/(!)=/(-!)+/(-!),所以/(-1)=0再取心二X,x2=-1则=+?即/(-x)=/(x)因为了㈤为非零函数，所以HR为偶函数。五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数/(x)对任意实数尤，y,均有f(x+y)=f(x)+.f(y),且当x>0时，f(x)>0,/(-1)=-2,求f(x)在区间［—2,1］上的值域。分析

10、：由题设可知，函数/&)是空伙工°)的抽象函数，因此求函数/(X)的值域，关键在于研究它的单调性。解:设心5,贝吐2-心>0,・.•当X>00^,/(X)>0?・・./(乃-忑)>0,・.•/(乃)=了［(乃-心)+心］=了(兀2-心)+/(^1),・・./(乃)-/山)=/(乃-心)>0,即”2)>/(心)，・・』(兀)为增函数。在条件中，令『=—X,贝lj/(°)=/(X)+/(一X),再令兀=y=0,则/'(0)=2/(0),・*.f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数，/(1)——f(-■1)=2,又f(_2)=2/(—1)=—4,・•

11、•f(x)的值域为[一4,2]o例2、