海岸线长度问题.ppt

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1、海岸线长度问题《数学文化》课程组经典的欧氏几何学研究的对象是那些光滑和规则的空间形体，它们一般都具有整数的维数．比如，零维的点、一维的线（直线与曲线）、二维的面（平面和曲面）、三维的立体（多面体和球体等）、四维的时空等．然而，自然界是很复杂的，还普遍存在不光滑和不规则的空间构形．如弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花撩乱的满天繁星等等．所有这些对象很难、也不可能用欧氏几何来描述，因为它们的维数不一定是整数，而是存在一个分数维数．正因为如此这些形体一直被视为“病态”的“数学怪物”，而被排除在传统

2、数学之外．近几十年，随着科学技术的迅猛发展以及人们对物质世界和人类社会看法的改变，数学家们开始了对这个“数学怪物”的探索，产生了几何学的新兴分支——分形几何学．英国的海岸线有多长？一、问题的产生一、问题的产生英国的海岸线有多长？英国数学家理查森（Richardson，1881～1953）查了欧洲许多版本的百科全书，发现其中对英国海岸线的长度说法不一，出入最多达到20%．显然，通常的测量是不可能产生这么大的误差的，那这20%的差距是如何产生的呢？对这一问题进行深入研究的是美籍法国数学家、计算机专家蒙德尔布罗（Mandelbrot，1924～2010）．他于1967

3、年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇奇怪却具有划时代意义的论文——《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维》．文中蒙德尔布罗对英国海岸线长度的问题作出了回答，不过他的回答却让人大吃一惊：他认为无论测量的多么仔细认真，都不可能得到英国海岸线的准确长度，因为根本就不会有准确的答案．英国的海岸线长度是不确定的！一、问题的产生1.英国的海岸线有多长？当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成

4、的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。刘徽——割圆术2.柯克曲线1904年，瑞典数学家柯克（Koch，1870～1924）构造了一种雪花形状的曲线，我们习惯上称为柯克雪花曲线．这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几何思想，其构造方法如下：（1）取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为一边，向外侧凸出作一个正三角形．（2）将原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个很像雪花形状的有12条边的六角星．（3）再以上图中每边上中间的1/3为一边，向外凸出作一个正三角形，然后把原来

5、边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个更像雪花的六角星，这个六角星有48条边．（4）重复以上步骤，不断做下去，得到的图形就是柯克雪花曲线．“自相似”的特点柯克曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非常相似。柯克曲线是通过无限的步骤创造的。这无限步骤中的每一步，都是在上一部图形的每个边上，以中间的1/3为一边，向外侧突出作一个正三角形，再把原来边上中间的1/3部分擦掉。这样，柯克曲线自身的任何一个局部，如此不断地做下去，与整体是非常相似的。Koch曲线雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画

6、在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于原三角形面积的8／5倍。蒙德尔布罗认为：海岸线更接近于柯克曲线的形式。（1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来；(2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性;(3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是从近处观察都一样复杂，有自相似性。二、分形1.客观世界的“分形”B.B.Mandelbrot：“我从拉丁文形容词fractus（分裂的）造出了fractal（分形）这个词．相应的拉丁文动词fragere的意义是“使碎裂”、造成不规则的碎片．……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“

7、分数”或“折射”中那样），fracus还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来”．客观世界中更多的是“分形”平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛爬过的路线等；空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、闪电的线路、人的经络等等。山星云星云天空中的云朵植物的叶子河流分布图“整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。”“自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝

8、都与其整体非常相似。其生