数学专题讲义---数列.doc

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1、一．等差、等比数列的基本理论⑴等差、等比数列：数列等差数列等比数列定义递推公式；；通项公式（）前项和公式重要性质⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：①②(，)③(为非零常数).⑷数列{}的前项和与其通项之间的关系：例1.在等差数列中，。求解：法一：因为所以法二：因为而所以例1.在等比数列中，，。求解：因为所以公比（事实上，若，则，此时显然不满足题设条件）于是有又例2.在等差数列中，。求解：法一：法二：因为所以例3.设数列满足，，。求，解：因为所以是以为首项，为公比的

2、等比数列；例1.设数列满足，，，。求，解：因为所以又例2.设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且公比为正数，。求解：设的公差为，的公比为则由，有即；亦即①又由，有即；亦即②①-②，得（﹡）将代入①，得化简整理，得将代入（﹡），得故；例7.已知等差数列中，。求解：因为所以由已知，有又是一元二次方程的两个根或者当时，有此时；当时，有此时二．数列求和一般地，数列求和常见的方法有以下几种：（1）公式法；（i）等差数列求和公式：（ii）等比数列求和公式：（2）分组求和法；注：“分组求和法”通过把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数

3、列，再根据公式进行求和。（3）倒序求和法；注：“倒序求和法”是推导等差数列前n项和的方法。（4）错位相减法；注：“错位相减法”是推导等比数列前n项和的方法，常应用于形如的数列求和,其中为等差数列,为等比数列。（5）裂项相消法；注：“裂项相消法”通过把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。关于裂项相消法，常见的拆项公式有：；；；；例1.求的和。解：（分组求和法）例2.求数列的前项和。解：（分组求和法）令数列的前项和为，则例3.求的和。解：（倒序求和法）令①则②①+②，得故例1.设，求的和。解：（倒序

4、求和法）由可得，令①则②①+②，得故例2.求的和。解：（错位相减法）当时，；当时，令则，得故例3.求数列的前项和。解：（裂项相消法）令则故数列的前项和例1.设数列中，，，（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列满足，。求；（3）设。证明：.证：（1）由①可得，②①-②，得即；亦即又；即故数列数列是以为首项，为公差的等差数列解：（2）由（1）知，又于是有将以上个式子迭加，得又故证：（3）由可得，故三．递推数列（1）一阶递推公式：；特点：已知前一项可求得后一项（2）一阶递推公式：特点：已知前两项可求得后一项例1．在数列中，，（1）设。求（2）求

5、数列的前项和.解：（1）因为所以(＊)而由(＊)式，有，这里于是有将以上个式子迭加，得故（2）数列的前项和令①则②①-②，得故例1．设数列满足，，（1）设.证明：数列是等比数列（2）求数列的通项.证：（1）因为①所以②②-①，得于是有（＊）又因为所以由（＊）式，有即又，即故数列是以为首项，为公比的等比数列解：（2）由（1）知，上式两端同时除以，得令，则有又是以为首项，为公差的等差数列故例1．已知等差数列的公差，设，，其中，（1）若，，。求（2）若，成等比数列。求（3）若。证明：解：（1）由，，，有故解：（2）因为所以又因为成等比数列所以（＊

6、）又，，由（＊）式，有，而于是有又故证：（3）左端=因为；.所以；.四．高考真题解析1.（2010年陕西文数12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列。（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为成等比数列所以化简整理，得又故解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由此可知，数列即为首项为2，公比为2的等比数列故数列的前项和2.（2009年陕西文数5分）设等差数列的前项和为，若，则.解：由，有解得：，故3.（2009年陕西文数12分）已知数列满足：，，，.(Ⅰ)令,证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式.证：(Ⅰ)由，可得：而故是以为首项，

7、为公比的等比数列解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，于是有将以上个式子迭加，得故4.（2008年陕西数学5分）已知是等差数列，，，求该数列的前10项和等于（B）A.64B.100C.110D.120解：由，解得：故5.（2008年陕西文数12分）已知数列的首项，,（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.证：(Ⅰ)由可得：又故数列是以为首项，为公比的等比数列解：（Ⅱ）由(Ⅰ)知，于是数列的前项和令①则②①-②，得故6.（2008年陕西理数14分）已知数列的首项，,（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对于任意的，；（Ⅲ）证明：.解：（Ⅰ）由可得：又是以

8、为首项，为公比的等比数列于是有故证：（Ⅱ）对任意的，我们有证：（Ⅲ）由及，我们有令则7.（2007年陕西文数5分）等差数列的前项和为，若，，则等于（C）A.12B.18C.24D