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1、辨析悟道防错解1一个中心：方程模型与图形结构要匹配1.1杜绝显性不当的方程模型例1如图1，在平面直角坐标系中，己知点A(1,2),B(2,1),而点C(m，0)是x轴上的一个动点.若使AABC的面积等于2，则m=.错解如图1，过点A作x轴的平行线AE，过点B作y轴的平行线ED，交AE于点E，交x轴于点D,则四边形ACDE为直角梯形，且SAABOS梯形DCAE-SABAE-SABDC,由此得12X2X(l+m-2)-12X1Xm-2-12X1X1=2,解得ml=_l，m2=5.1.2谨防隐性不当的方程模型例2如图4,在Rt/XABC屮，ZC=
2、90°，AC=6cm,BC=8cm,点P以3cm/s的速度从点A沿AC向点C运动，同时点Q以4cm/s的速度从点B沿BC向点C运动.设点P运动的时间为t，是否存在这样的t，使PQ垂直平分斜边上的中线CD?若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由.图4错解如图4,分别连接DP、DQ，若存在时间t，使PQ垂直平分中线CD,则RtAPCQgRtAPDQ,故SAPCQ=SAPDQ；再过点D分别作DE丄AC,DF丄BC,则易知DE、DF均为RtAABC的中位线，且DEM,DF=3;从而由SAADP+SABDQ+S四边形PCQD=SAABC得，12X3
3、tX4+12X4tX3+(8_4t)(6-3t)=12X8X6，①解得tl=l,t2=2（使点P、Q重合，舍去）.辨析上述解法似乎很严谨，其实不然.因为由SAADP+SABDQ+S四边形PCQD=SAABC得到方程①，其根据是SAPCQ=S/PDQ,但SAPCQ=SAPDQ?r,并不一定有PQ垂直平分CD，所以方程①的解有可能使PQ垂直平分CD,也可能使PQ不垂直平分CD.因此，该方程模型与PQ垂直平分CD的图形结构是否匹配，难以确定.故这种情况下，对方程的解必须进行检验，否则无法确定最终的结果.事实上，经检验知，上述的t=l使四边形PC
4、QD变成了矩形，其邻边的长分別为3、4（见图4），此时PQ（即EF）只平分CD，而与⑶不垂直，故例2无解.上述两个案例表明：在列方程解几何题时，不管图形如何变化，其方程模型都必须与图形的结构特征完全匹配.因此，方程模型与图形结构是否匹配的问题，应是列方程解几何题时需要认真思索的一个主要问题.当方程模型存在不当之处时，就要设法进行调整，使它与图形的结构完全匹配；当方程模型与图形的结构是否匹配难以确定时，就应对方程的解进行检验.2两个基本点：防增解、防漏解在有些情况下，由于某种原因，也可能出现所列方程与图形结构不完全匹配的情况.因此，还必须注意
5、以下两点：2.1防增解例3如图5，己知点A（23,0），B（0，2），P是AA0B外接圆上的一点，且图5ZAOP=45°,则点P的坐标是.错解1如图6,在RtAAOB中，由勾股定理易知AB=4.再连接PA、PB，又易知ZXPAB为等腰直角三角形，于是PA=PB=ABXsin45°二22.设P（m，m），且作PC丄x轴，垂足为C，则PC=m，AC=23-m.在RtAAPC中,由勾股定理知m2+（23-m）2=（22）2①，解得ml=3+l,m2=3-1.一方面，若设E（m,-m）,并过点E作EF丄x轴，垂足为F，则EF二m，AF=23-m.在
6、RtAAEF屮，由EF2+AF2=EA2仍得①式，从而仍有ml=3+l，m2=3-l.再根据点E（m，-m）与点P（m，m）坐标间的关系，不难看出，此思路及解法1所得结果分别是图8中P、E两点的横坐标.另一方面，若设E（-m,m）,且过点E作EG丄y轴，垂足为G，则GE=-m,GB二2-m.在RtABGE中，由GE2+GB2二EB2仍得②式，从而仍有ml=l+3,m2=l-3.可见，此思路及解法2所得结果分别是图8屮P、E两点的纵坐标.以上分析表明，方程①、方程②均与图8的结构特征相匹配，它们的解分别是图8中P、E两个点的横（或纵）坐标.但
7、图5中并无图8中的点E,故这两个方程模型所蕴涵的图形信息都比图5多一种情况，它们都把解的外延扩大了，这就是产生增解的原因.既然增解是由所列的方程引发的，那就应调整思路而改用其它的方程模型.显然，例3若采用下列解法3求解，就不会产生增解.解法3如图6,与思路1同法求出AB=4,PA=PB=22,并设P（m，m）.因为SAPAO+SAP0B=SABAO+SABAP,所以12X23Xm+12X2Xm=12X2X23+12X（22）2，解得m=l+3，从而P（1+3，1+3）.2.2防漏解例4在平面直角坐标系xOy中，已知A是直线y=kx+3上的一
8、个动点，点B的坐标为（10,0）.若在直线y=kx+3上只存在一点A，使Z0AB=90°，则k:.图9错解如图9，设A(x，kx+3)，并连接OA、BA,再作AD丄x轴，垂足为D
