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1、辨析悟道防错解1一个中心：方程模型与图形结构要匹配1・1杜绝显性不当的方程模型例1如图1,在平面直角坐标系中，已知点A(1,2),B(2,1),而点C(in,0)是x轴上的一个动点•若使AABC的面积等于2,则ni二.错解如图1,过点A作x轴的平行线AE,过点B作y轴的平行线ED,交AE于点E,交x轴于点D,则四边形ACDE为直角梯形，且SAABC^S梯形DCAE-SABAE-SABDC,由此得12X2X(l+m-2)-12X1Xm-2-12X1X1=2,解得ml=-l,m2=5.1・2谨防隐性不当的方程模型例2如图
2、4,在RtAABC中,ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P以3cm/s的速度从点A沿AC向点C运动，同吋点Q以4cm/s的速度从点B沿BC向点C运动•设点P运动的时间为t,是否存在这样的t,使PQ垂直平分斜边上的中线CD?若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由.图4错解如图4,分别连接DP、DQ,若存在时间t,使PQ垂直平分中线CD,则RtAPCQ^RtAPDQ,故SZXPCQ二SZXPDQ；再过点D分别作DE丄AC,DF丄BC,则易知DE、DF均为RtAABC的中位线，且DE二4,DF二3；从而由SAA
3、DP+SABDQ+S四边形PCQD=SAABC得,12X3tX4+12X4tX3+(8-4t)(6-3t)=12X8X6,①解得tl=l,t2=2（使点P、Q重合，舍去）.辨析上述解法似乎很严谨，其实不然•因为由SAADP+SABDQ+S四边形PCQD=SAABC得到方程①，英根据是SAPCQ=SAPDQ,但SAPCQ=SAPDQ?r,并不一定有PQ垂直平分CD,所以方程①的解有可能使PQ垂直平分CD,也可能使PQ不垂直平分CD.因此，该方程模型与PQ垂直平分CD的图形结构是否匹配，难以确定•故这种情况下，对方程的解
4、必须进行检验,否则无法确定最终的结果•事实上，经检验知，上述的t二1使四边形PCQD变成了矩形，英邻边的长分别为3、4（见图4）,此时PQ（即EF）只平分CD,而与CD不垂直，故例2无解.上述两个案例表明：在列方程解几何题时，不管图形如何变化，其方程模型都必须与图形的结构特征完全兀配.因此，方程模型与图形结构是否匹配的问题，应是列方程解几何题时需要认真思索的一个主要问题•当方程模型存在不当Z处时，就要设法进行调整，使它与图形的结构完全匹配；当方程模型与图形的结构是否匹配难以确定吋，就应对方程的解进行检验.2两个基本点
5、：防增解、防漏解在有些情况下，由于某种原因，也可能出现所列方程与图形结构不完全匹配的情况•因此，还必须注意以下两点：2.1防增解例3如图5,已知点A（23,0）,B（0,2）,P是AAOB外接圆上的一点,但图5ZAOP=45°,则点P的坐标是.错解1如图6,在RtAAOB中，由勾股定理易知AB二4•再连接PA、PB,又易知ZXPAB为等腰直角三角形，于是PA二PB二ABXsin45。二22.设P(m,m),且作PC丄x轴，垂足为C,则PC=m,AC=23-m.在RtAAPC中,由勾股定理知m2+(23-m)2=(22
6、)2①,解得ml二3+1,m2二3-1.一方面，若设E(m,-m),并过点E作EF丄x轴，垂足为F,则EF=m,AF二23-ni.在RtAAEF屮，由EF2+AF2二EA2仍得①式，从而仍有ml二3+1,m2=3-l.再根据点E(m,-m)与点P(m,m)坐标间的关系，不难看出，此思路及解法1所得结果分别是图8中P、E两点的横坐标.另一方血，若设E(-m,m),且过点E作EG丄y轴，垂足为G,则GE=-m,GB二2-m.在RtABGE中，由GE2+GB2二EB2仍得②式，从而仍有ml二1+3川2二1-3・可见，此思路
7、及解法2所得结果分别是图8屮P、E两点的纵坐标.以上分析表明，方程①、方程②均与图8的结构特征相兀配，它们的解分别是图8中P、E两个点的横(或纵)坐标•但图5中并无图8中的点E,故这两个方程模型所蕴涵的图形信息都比图5多一种情况，它们都把解的外延扩大了，这就是产生增解的原因•既然增解是由所列的方程引发的，那就应调整思路而改用其它的方程模型•显然，例3若采用下列解法3求解，就不会产牛增解.解法3如图6,与思路1同法求出AB二4,PA二PB二22,并设P(m,m)・因为SAPAO+SAPOB=SABAO+SABAP,所以
8、12X23Xm+12X2Xni二12X2X23+12X(22)2,解得m二1+3,从而P(1+3,1+3)・2.2防漏解例4在平面直角坐标系xOy中，已知A是直线y=kx+3上的一个动点，点B的坐标为(10,0)•若在直线y二kx+3上只存在一点A,使Z0AB=90°,则k二.图9错解如图9,设A(x,kx+3),并连接OA、BA,再作AD±x
