高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式与三角不等式

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1、高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于

2、的代数恒等式的证明问题.万能公式相除相除相除积化和差和差化积相加减要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式.为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等.其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处

3、理三角不等式的锐利武器.7三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型.解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式.如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一.求三角形面积的海伦公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.赛题精讲例1：已知【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.【证法1】【证法2】例2：证明：【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可

4、尝试降次.【证明】因为从而有7【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令，展开即可.例3：求证：【思路分析】等式左边同时出现、，联想到公式.【证明】【评述】本题方法具有一定的普遍性.仿此可证等.例4：已知【证明】例5：证明：【证明】7【评述】这是三倍角的正弦的又一表示.类似地，有.利用这几个公式可解下例.例6：求证：①②sin1°sin2°sin3°…sin89°=【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59

5、°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=7又即所以例7：证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），有【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.【证明】同理……【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：7.例8：证明：【证明】所以，【评述】①本题也可借助复数获证.②类似地，有利用上述公式可快速证明下列各式：7针对性训练题1．证明：sin47°+sin61°－sin1

6、1°－sin25°=cos7°.2．证明：3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.4．已知5．已知的最大值.6．已知、、、的最大值.7．△ABC中，C=2B的充要条件是8．△ABC中，已知、、成等差数列，求证：、、也成等差数列.9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，求B的最大值.10．若、能否以、、的值为边长构成一个三角形.11．求函数的值域.12．求函数的值域.7