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1、1三角形内不等式zhangyuong(数学之家)前言关于三角恒等式和三角形内不等式的书籍不多,而且介绍的内容比较散,但是在05年联赛又确实出现过一道相当难的三角不等式,并且三角恒等变换在高中数学竞赛中也确实占有重要地位.因此我在离开学校之前搜集了一些资料,对三角不等式的内容进行了一些总结教程编排本教程以介绍知识为主，对读者有一定知识需求第一部分是教程本身.主要是一些基础知识的介绍和呈现第二部分是例题.一些教程的内容的证明会放在例题当中,同时在例题当中会再介绍一些重要的定理,例如换元的理论基础,以及实际例子等,都将包含在例题第三部分是习题.基本上是例题的变式或者相类
2、似的题目,供读者模仿练习和思考使用本教程时候,每一个部分都不能忽略,每一个部分的价值都是同等的特殊记号如不加说明，用字母SRrrhmwIH,,,,,,,,分别表示三角形面积,外接圆半径,内切圆半径，aaaaA所对旁切圆半径,a边上的高线长,a边上中线长,a边上角平分线长,内心，垂心12第一部分第一讲面积公式1我们最初在初中学习三角形面积的时候，是从S=ah开始的，然后在高中，我们用三a21角函数表示底边上的高h，从而得到公式S=absinC，然后再由于正弦定理的引入，还a2有其他三角形内的性质，面积公式越变越多。1.建立面积公式的第一个途径1第一个建立面积公式的途
3、径是基于S=absinC2abc如果我们将角元素全化为边，那么可以得到S=4R2同样，如果我们将边元素全部化为角，就可以得到S=2RsinsinsinABC12sinsinBC只保留一边，可以得到S=a2sin(BC+)由于三边可以确定一三角形，因此尝试仅用边来表示面积1考察公式S=absinC,2222a+b−c(abcabcbc+−)(++)(+−aa)(+−cb)22由于sinC=1cos−C=1(−)=2ab2ab因此1(abcabcbc+−)(++)(+−aa)(+−cb)S=absinC=241如果在这里采用半周p=(abc++)，则面积公式可以写为S
4、=pp(−apbpc)(−)(−)21222222444但是如果将这个公式展开，则可以得到S=2(ab+bc+ca)(−a+b+c)4上述仅用边表示的面积公式，称为海伦公式2.建立面积公式的第二个途径23另一个途径，则是回忆初中经常考虑的问题，已知三角形三边长和面积，求内切圆半径这个问题的解决，只要将三角形各顶点跟内心连线，将原三角形分成三个小三角形，然后三个小三角形的面积分别表示之后，再相加，便得到原三角形面积因此可以得到S=pr，如果将半周运用正弦定理全部化为角的形式，那么可以得到S=Rr(sinA+sinB+sin)C，事实上运用这条面积公式可以将乘积Rr用
5、三边表示出来再考虑到旁切圆：上图中F，D分别是内切圆和旁切圆的切点，由于∆AFI∼∆ADIarAFp−a因此==，S=pr=(p−ar)arADpa用上面的两个途径，我们可以得到以下面积公式：11abc212sinsinBCS=ah=absinC==pr=2RsinsinsinABC=a=pp(−apbpc)(−)(−)a224R2sin(BC+)1222222444=2(ab+bc+ca)(−a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sin)C=(p−ar)a434第二讲三角形中的一些基本量3.内切圆代换1三角形很特殊，是因为它的三边a,b,c有着互相约束的关系：
6、max{,,}abc<(abc++)2由于这种约束关系并不容易利用，因此内切圆代换的引入就是必要的内切圆代换：a=y+zb,=+zxc,=x+yxyz(,,>0)这之所以被称为内切圆代换，那是因为a,b,c的代换量x,y,z分别就是自A，B，C到内切圆的切线长长度如图，a=y+z⇔BC=BDCDb+,=+zx⇔AC=CE+AEc,=x+y⇔AB=AF+BF这个代换的强大之处在于，它将三角形的三边约束条件，转化为三个正数的条件这是因为存在一个三角形的充分必要条件是：1三边a,b,c满足max{,,}abc<(abc++)2用内切圆代换检验就知道不等式右边是p=x+y
7、+z，因此只要作了内切圆代换，就可以将约束条件转化为x,y,z是正数4.一些三角形基本量45有了面积公式和内切圆代换，我们可以将一些三角形最常用的量表示出来1.p=x+y+z.2.S=pp(−apbpc)(−)(−)=xyzx(+y+z)abc(x+yy)(+zz)(+x)Sxyz3.R==4.r==4S4xyzx(+y+z)px+y+zSyzx(+y+z)2S2xyzx(+y+z)5.r==6.h==aap−axay+z这些都是可以依靠面积公式得到最基本的量56第三讲三角恒等式三角恒等式有相当多，在这里介绍的是最基础同时也是最常用的恒等式5.弦函数恒等式关于弦函
8、数的恒等式
