一维热传导方程的数值解.pdf

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1、第３卷第３期Vol畅３No畅３淮阴师范学院学报（自然科学版）２００４年８月JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE（NATURALSCIENCEEDITION）May．２００４一维热传导方程的数值解徐建良，汤炳书（连云港高等师范专科学校物理系，江苏连云港２２２００６）摘要：利用差分法对数理方程的多个较复杂的一维热传导问题进行分析，并进行数值计算，给出了直观的图象．关键词：差分法；一维热传导方程；边界条件中图分类号：O５５１．３文献标识码：A文章编号：１６７１-６８７６（２００４）０３-０２１０-０５数理方程中混合问题的解法通常是比较复杂的，有时很难有解

2、析解，即便解出，其解的形式也通常［１４］是一个无穷级数形式．本文以一维热传导混合问题为例，探讨利用差分法对数理方程进行数值解的方法．１第一类边界条件的一维热传导混合问题的解法设含第一类边界条件的一维热传导混合问题为：２ut＝auxx＋f（x，t）（０＜x＜l）（０＜t＜∞）（１）u（０，t）＝１（t），u（l，t）＝２（t）（０≤t≤μ∞）μ（２）u（x，０）＝（x）（０≤x≤l）φ（３）这是一个１１类非齐次边界条件的一维热传导问题，通常这一类混合问题是很难解的，即便解出，其解也通常是一个无穷级数的形式，对该解的物理意义不能直接讨论，不能给出直观的图象．１．１计算方法为求解

3、方程（１），首先定义函数u（x，t）的时间与空间的网格，将x坐标分成N等份，将t坐标分成M等份．令i表示位置x横轴，j表示时间t纵轴．网格上每个格点对应一个温度值．用中心差分近似代替对空间的偏微分，即２抄uui－１，j－２ui，j＋ui＋１，j２＝２（４）抄xxΔ用向前差分近似代替对时间的偏微分，即抄uui，j＋１－ui，j＝（５）抄ttΔ以（４）、（５）代入（１）式得ui，j＋１－ui，j２ui－１，j－２ui，j＋ui＋１，j＝a２＋f（i，j）（６）txΔ解得ui，j＋１＝c（ui－１，j＋ui＋１，j）＋（１－２c）ui，j＋tf（i，j）（７）其中２tac＝２（８

4、）x收稿日期：２００４-０２-２１作者简介：徐建良（１９６４-），男，江苏武进人，讲师，主要从事物理教学研究．第３期徐建良等：一维热传导方程的数值解２１１根据式（７），如果已知j（不同i）坐标每一个格点的温度值，并且由１１类边界条件可知两边界i＝１及i＝N上的温度值，那么就可以求出j＋１坐标上每一个格点上的温度值．因此，利用（７）式从初始条件j＝１开始，就可逐步算出每一个格点上的温度值，运算过程如图１所示．这里必须特别指出的是算法的稳定性问题，即解达到稳定的条件是２ta１Δc＝２≤（９）x２Δ图１第一类边界条件下热传导方程的图解例１设定解问题为２xπut＝auxx＋Asin

5、（０＜x＜l）（０＜t＜∞）（１０）l（１１）u（０，t）＝０，u（l，t）＝０（０≤t≤∞）（１２）u（x，０）＝０（０≤x≤l）这是一个两端温度为０℃，并且具有热源的定解问题．本定解问题有解析解，其解为２２２２Al－at／lxππu（x，t）＝２２（１－e）sin（１３）alπ由数值计算得出的结果如图２所示．例２设定解问题为２ut－auxx＝０（０＜x＜l）（０＜t＜∞）（１４）u（０，t）＝０，u（l，t）＝０（０≤t≤∞）（１５）２u（x，０）＝bx（l－x）／l（０≤x≤l）（１６）例２的数值计算结果如图３所示．图２例１中相同t不同x的温度变化曲线图３例２中相同t

6、不同x的温度变化曲线２１２淮阴师范学院学报（自然科学版）第３卷从结果可以知道热传导杆两端的温度始终保持为０，杆的中点温度总是高于其它点温度，各点温度随着时间变化逐渐降低．２含第二类边界条件的一维热传导混合问题的数值解法２．１２１类边界条件的处理办法设x＝０端满足第二类边界条件，即ux（x，t）

7、x＝０＝（t）μ（１７）则此时就不能直接利用（７）式求解，必须首先利用（１７）式及初始条件（３）逐步求出边界x＝０及其他各点处各时刻的温度值．因x＝０处对应i＝１，则由（１７）式得抄u１，j－u０，j＋u２，j＝＝（j）μ（１８）抄x２xΔ所以u０，j＝u２，j－２x（j）Δμ（１９

8、）令（７）式中i＝１得u１，j＋１＝（u０，j＋u２，j）＋（１－２）u１α，j＋tf（１，j）αΔ（２０）由（１９）、（２０）式解得u１，j＋１＝２（u２，j－x（j））＋（１－２）uα１，j＋tf（Δ１，μj）α（２１Δ）再令（７）中i＝２则得u２，j＋１＝（u１，j＋u３，j）＋（１－２）u２，j＋αtf（２，j）α（２２Δ）这样就可先由（２２）式算出i＝２上的各点温度值，再由（２１）式算出边界x＝０，即i＝１上各点的温度值．（２１）和（２２）式的运算过程如图４．图４２１类边界条件下的运行图图５１２类边界条件