一维热传导方程的数值解

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1、第3卷第3期淮阴师范学院学报（自然科学版）Vol.3No.32004年8月JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE（NATURALSCIENCEEDITION）May.2004#############################################################一维热传导方程的数值解徐建良，汤炳书（连云港高等师范专科学校物理系，江苏连云港222006）摘要：利用差分法对数理方程的多个较复杂的一维热传导问题进行分析，并进行数值计算，给出了直观的图象.关键词：差分法；一维热传导方程；边界条件中图分类号：O551.3文献标识码：

2、A文章编号：1671-687（62004）03-0210-05数理方程中混合问题的解法通常是比较复杂的，有时很难有解析解，即便解出，其解的形式也通常［14］是一个无穷级数形式.本文以一维热传导混合问题为例，探讨利用差分法对数理方程进行数值解的方法.1第一类边界条件的一维热传导混合问题的解法设含第一类边界条件的一维热传导混合问题为：2ut=auxx+（fx，t）（0

3、解出，其解也通常是一个无穷级数的形式，对该解的物理意义不能直接讨论，不能给出直观的图象.1.1计算方法为求解方程（1），首先定义函数u（x，t）的时间与空间的网格，将x坐标分成N等份，将t坐标分成M等份.令i表示位置x横轴，j表示时间t纵轴.网格上每个格点对应一个温度值.用中心差分近似代替对空间的偏微分，即2"uui-1，j-2ui，j+ui+1，j2=2（4）"x#x用向前差分近似代替对时间的偏微分，即"uui，j+1-ui，j=（5）"t#t以（4）、（5）代入（1）式得ui，j+1-ui，j2ui-1，j-2ui，j+ui+1，j=a2+（fi，j）（6）#t#x解得ui，

4、j+1=（cui-1，j+ui+1，j）+（1-2c）ui，j+#t（fi，j）（7）其中2c=#ta2（8）#x收稿日期：2004-02-21作者简介：徐建良（1964-），男，江苏武进人，讲师，主要从事物理教学研究.第3期徐建良等：一维热传导方程的数值解211根据式（7），如果已知（j不同i）坐标每一个格点的温度值，并且由11类边界条件可知两边界i=1及i=N上的温度值，那么就可以求出j+1坐标上每一个格点上的温度值.因此，利用（7）式从初始条件j=1开始，就可逐步算出每一个格点上的温度值，运算过程如图1所示.这里必须特别指出的是算法的稳定性问题，即解达到稳定的条件是2!ta

5、1c=2!（9）!x2图1第一类边界条件下热传导方程的图解例1设定解问题为ì2"xut=auxx+ASin（0

6、）/l（0!x!l）例2的数值计算结果如图3所示.图2例1中相同t不同x的温度变化曲线图3例2中相同t不同x的温度变化曲线212淮阴师范学院学报（自然科学版）第3卷从结果可以知道热传导杆两端的温度始终保持为0，杆的中点温度总是高于其它点温度，各点温度随着时间变化逐渐降低.2含第二类边界条件的一维热传导混合问题的数值解法2.121类边界条件的处理办法设x=0端满足第二类边界条件，即u（xx，t）x=0=!（t）（17）则此时就不能直接利用（7）式求解，必须首先利用（17）式及初始条件（3）逐步求出边界x=0及其他各点处各时刻的温度值.因x=0处对应i=1，则由（17）式得!u1，

7、j-u0，j+u2，j==!（j）（18）!x2"x所以u0，j=u2，j-2"x!（j）（19）令（7）式中i=1得u1，j+1=#（u0，j+u2，j）+（1-2#）u1，j+"t（f1，j）（20）由（19）、（20）式解得u1，j+1=2#（u2，j-"x!（j））+（1-2#）u1，j+"t（f1，j）（21）再令（7）中i=2则得u2，j+1=#（u1，j+u3，j）+（1-2#）u2，j+"t（f2，j）（22）这样就可先由（22）式算出i=2上的各点温度值，再由（