苏教版必修5 正弦、余弦定理的综合应用(1)教案

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1、11.3正弦、余弦定理的综合应用（1）一、课题：正弦、余弦定理的综合应用（1）二、教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如。三、教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如。四、教学过程：（一）复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。1．正弦定理、三角形面积公式：；．2．正弦定理的变形：（1）；（2）；（3）．3．利用正弦定理和

2、三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。4．余弦定理：．5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。例１　如图１１３１，为了测量河对岸两点Ａ，Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＝４７°，∠ＢＣＤ＝７２°，ＣＤ＝１００ｍ．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１ｍ）．第4页共4页解　在△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝８５°，∠Ａ

3、ＣＤ＝４７°，则∠ＤＡＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得≈１３４．０５（ｍ）．在△ＢＤＣ中，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＢＣＤ＝７２°，则∠ＤＢＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得≈１１６．５４（ｍ）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ　＝134.05２＋116.54２－２×134.05×116.54ｃｏｓ２５°≈3233.95所以　ＡＢ≈５７（ｍ）．答　Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７ｍ．例２　如图１１３２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的Ｃ处，并测得

4、渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０１°，时间精确到１ｍｉｎ）．解　设舰艇收到信号后ｘｈ在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝２１ｘ，ＢＣ＝９ｘ，又ＡＣ＝１０，∠ＡＣＢ＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ，即（２１ｘ）２＝１０２＋（９ｘ）２－２×１０×９ｘｃｏｓ１２０°．化简，得３６ｘ２－９ｘ－１０＝０，第4页共4页解得ｘ＝２３（ｈ）＝４０（ｍｉｎ）（负值舍去）．由正弦定理，得所以∠ＢＡＣ≈

5、２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°答　舰艇应沿着方位角６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠近渔轮．例３　作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡．已知Ｆ１＝３０Ｎ，Ｆ２＝５０Ｎ，Ｆ１与Ｆ２之间的夹角是６０°，求Ｆ３的大小与方向（精确到０１°）．解　Ｆ３应和Ｆ1，Ｆ2的合力Ｆ平衡，所以Ｆ３和Ｆ在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图１１３３，在△ＯＦ1Ｆ中，由余弦定理，得．再由正弦定理，得所以∠Ｆ１ＯＦ≈３８．２°，从而∠Ｆ１ＯＦ３≈１４１．８°．答　Ｆ３为７０Ｎ，Ｆ３和Ｆ１间的夹角为１４１．８°．例４　如图１１３４，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的

6、一点，ＯＡ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ＡＢＣ．问：点Ｂ在什么位置时，四边形ＯＡＣＢ面积最大？分析　四边形的面积由点Ｂ的位置惟一确定，而点Ｂ由∠ＡＯＢ惟一确定，因此可设∠ＡＯＢ＝α，再用α的三角函数来表示四边形ＯＡＣＢ的面积．解　设∠ＡＯＢ＝α．在△ＡＯＢ中，由余弦定理，得第4页共4页ＡＢ２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．于是，四边形ＯＡＣＢ的面积为　　　　Ｓ＝因为０＜α＜π，所以当，即∠ＡＯＢ＝时，四边形ＯＡＣＢ面积最大．第4页共4页