数学：13正弦定理、余弦定理的应用(1)教案(苏教版必修5)

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1、第5课时：§1.3正弦定理、余弦定理的应用（1）【三维目标】：一、知识与技能1•能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图;②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；4.能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方

2、面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力5.规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤.难点：根据题意建立数学模型，画出示意图【学法与教学用具】：1.学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生

3、尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①己知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其屮一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已矢口三边求三内角；

4、②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材片8例1）如图1一3-1,为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点C,D,测得ZADC=85°,ZBDC=60,ZACD=47°,ZBCD=72°,C£>=100m.设A,B,C,D在同一平面内，试求间的距离（精确到1加）•解：在ADC屮，ZADC=85°,ZACD=4T,则ZDAC=48°•又DC=100,由正弦定理，得AC=DCsinZADC_100sin85。sinZDACsin48；-134.05(/27).在BDC屮，ZBDC=60°,ZBCD=72°,则Z

5、DBC=48°.又DC=100,rh正弦定理，得BC=DCsinZBDCsinZDBC_100sin60sin48°R图在MBC中，由余眩定理，得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosZACB=134.052+116.542-2x134.05x116.54cos(72°-47°)-3233.95,所以AB-57（/72）答A,B两点之间的距离约为57m.本例中AB看成ABC或AABD的一边，为此需求出AC,BC或AD,BD,所以可考察ADC和卜BDC,根据已知条件和正弦定理来求AC,BC,再由余弦定理求AB.例2（教材片8例2）如图1-3-2,某渔轮在航行中不幸遇险

6、，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°,距离为1Onmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmilelh的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以25mile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°,时间精确到lmin）.BC=9北，又AC=,解：设舰艇收到信号后兀力在3处靠拢渔轮，则AB=2x,ZACB=45°+(180°-105o)=120°.由余眩定理，得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosZACB,即(2U)2=102+(9x)2-2x10x9^cosZ120°.2化简,得36兀2—

7、9兀-10=0,解得x=-(/z)=40(min)由正弦定理，得sinZB心竺將化呼J罟’所以ZB心2E方位角为45°+21.8°=668.答：舰艇应沿着方向角66.8°的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题屮的综合应用.因为舰艇从A到B与渔轮从C到B的时间相同,所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB和BC；再根据正弦定理求出ABAC.例3如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的C,D两处，测得烟囱的仰角分别为Q=35°12’和0=49°28z,四、巩固深化，