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1、利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取
2、等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1.凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，的最大值为8。11评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才
3、能得到定值。∵∴当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换11例4.已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代
4、换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5.求函数的最大值。解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，11当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相
5、等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。［练一练］1.若，求的最大值。2.求函数的最小值。3.求函数的最小值。4.已知，且，求的最小值。参考答案：1.2.53.84.11新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜
6、,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞
7、,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.11当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实
8、上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求
