毕业论文初稿

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1、一、对极限定义的研究1、对中学极限定义的研究数列极限概念：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限的趋近于某个常数（即无限的接近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限。函数极限概念：一般地，当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作当时，当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作当时，一般地，当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋近于时，函数的极限是，记作，也可记作当时，.也叫做函

2、数在点处的极限.2、对大学极限定义的研究数列极限的定义：设有数列和一个数。若对预先任意给定的不论怎样小的一个数，总存在自然数，只要当时，恒有成立，则称数为数列的极限。记作.我们也说无限趋近于，并写成.此时，称数列收敛.如果数列不存在极限，称数列发散.有关概念的几点说明：掌握极限概念的关键在于对正数二重性的理解.的二重性是：一方面，必须具有任意性.可以代表任意小的正数，只有这样才能保证描述数列无限地趋近.另一方面，必须具有相对固定性.在论证过程中，一旦给了，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行.极限概念中的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一.因

3、此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法.自然数显然依赖于正数，一般地说，所给定的越小，应该越大，有时为了表示这种关系，就写成.另外，从极限定义可以看出，如果当时，成立，那么对任一个,当时，亦必然成立.函数的极限概念：设函数定义在区间上，且存在常数.如果对任意给定的，总存在正数，当时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或.设函数定义在区间上，且存在常数.如果对任意给定的，总存在，时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或.设函数定义在区间与上（其中），且存在常数.如果对任意给定的，总存在，当时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或.设函数在

4、点某邻域有定义（在点可能除外），并有数.如果对任意给定的，总存在，当时，恒有，则称数为函数在点的极限，记作或上述函数极限的几点说明：在极限定义中，要求是为了去掉的情形.因为函数当时，有没有极限，只与函数在点附近的取值状态有关而与函数在处的值没有必要联系，甚至在处有没有定义，都无关紧要.显然，正数依赖于预先给定的；一般地说，给定的小，也应当随着取得更小.有时为了表示这种依赖关系，就写成.另外，从定义可看出，如果当时，恒有，那么对任一，，当时，成立.从定义求极限时，通常需要加强不等式.为此，常常先限定自变量的变化范围：，由于我们考擦的是，当时，函数的变化趋势；所以，对点邻域之

5、外，是怎样的，那是无关紧要的.二元函数极限定义：设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数。若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有,则称在上当时，以为极限，记作.在对于不至于产生误解时，也可以简单地写作.当分别用坐标表示时，也常写作二、对极限解题方法进行研究1、对中学极限解法的研究2、对大学极限解法的研究1利用极限的四则运算的性质这是很基础的极限思想若两个函数在同一点的有极限，可以用此四则运算直接给出这两个函数在这点的和.差.积.商的极限值。即若(I)(II)(III)若B≠0则：IV）（c为常数）上述性质对于直接用代值法求极限，当所求函数在极限点不间断时

6、，求其极限只需将该点值带入函数（即等于该点的函数值）例：求解:=2利用无穷小量性质法对于求两个函数的相乘类型的函数，特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质，我可以使用此方法，如果两函数f（x）.g（x）符合有以下条件：（I）(II)(M为正整数)则：例:求解:由而故原式=拓展：对于无穷小量的另一种方法如果我们可以得出（I）若：则(II)若:且f(x)≠0则例:求下列极限①②解:由故由故=3约去零因式对于函数极限的不能直接求极限。那么可以通过一个小技巧就是对函数的分子分母进行分解，约去零因式这类型在求极限的过程中很常用和使用，如例题：求解:原式=====这样就轻

7、而易举的得出的函数极限值。4利用两个重要的极限对于这两个极限的使用勿用累赘。对号入座直接使用。但我们经常使用的是它们的变形：：例求下列函数极限重要公式3求时的极限，通常“抓大头”的方法处理。所谓“抓大头”就是抓住关于的最高次数的项，而把其余的项略掉，例如：.例题解：重要公式5利用函数的连续性利用函数的连续性对于要求简单函数在连续点的极限而言只要能证明函数在这点连续那么这点的极限值等于这点的函数值，较为简单。如果所求函数是复合函数，可以用换元法的原理，利用两次简单函数就可以得出复合函数的值。以例题分别进行解析：例：求下列函数的极