绘制根轨迹的基本法则

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1、目的要求：通过本次课程掌握绘制根轨迹的基本法则知识要点：1.根轨迹的连续性2.根轨迹的对称性3.根轨迹的分支数4.根轨迹的起点和终点5.实轴上的根轨迹6.根轨迹的渐近线7.根轨迹的分离点和会合点8.根轨迹的出射角和入射角9.根轨迹与虚轴的交点10.闭环极点的和与积教学步骤：首先介绍根轨迹图及根轨迹方程，然后介绍幅值条件方程和相角条件方程和幅值条件方程和相角条件方程。教具及教学手段：多媒体教学课后作业：4-1第二节绘制根轨迹的基本法则（或其他参数）的连续函数，当Kg由于闭环特征方程的根是根轨迹增益Kg在0至无穷大区间连续变化时，闭环特征方程的根必然连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。

2、一、根轨迹的连续性二、根轨迹的对称性因为线性特征方程的系数均为实数，所以系统的特征方程根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一半功夫。三、根轨迹的分支数由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变化就形成了n支根轨迹。结论：根轨迹的分支数等于系统的阶数。四、根轨迹的起点和终点由幅值条件方程可得：根轨迹的起点是指Kg=0时根轨迹的点。Kg=0时，上式的右边为∞，而左边只有当时才是∞，使式（4-12）得

3、以成立。这里的是开环传递函数的极点。所以根轨迹的起点位于开环传递函数的的极点处。五、实轴上的根轨迹按照相角条件，若实轴上某实验点s1右方的实数极点和实数零点的总和为奇数时，则该实验点s1就在根轨迹上。六、根轨迹的渐近线若系统的开环极点数n大于开环零点数m，则当时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为θ，截距为-σ的一组渐进线趋向无穷远处。渐进线与实轴正方向的夹角θ为渐进线与实轴交点的坐标以表示，则渐近线与正实轴的夹角为七、　根轨迹的分离和会合点两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇，然后又立即分开点，叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重根。由于根轨迹具有共轭对称

4、性，故分离点与会合点必然是实数或共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。求取分离点的方法较多，常见的有重根法、极值法、试探法等几种。1.重根法由于根轨迹上的分离点或会合点就是特征方程的重根点，因此可用求重根的方法确定它们的位置。2.极值法对于某些较复杂的系统，最终得出的方程可能是三阶、四阶或更高阶的方程，求解比较困难。若出现这种情况，可改用试探法或用牛顿余数定理去求解分离点。3.牛顿余数定理的用法从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分满足要求了。八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。而根轨迹的饿入

5、射角，是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角又分别称为起始角和终止角。它们分别描述了根轨迹以什么姿态离开极点和以什么姿态进入零点。设根轨迹离开某开环极点-Pa时的出射角为；跟轨迹进入某时的入射角为，则、之值如下：开环零点九、根轨迹与虚轴的交点随着Kg的增大，根轨迹可能由左半S平面跨越虚轴而进入右半S平面。这时，系统由稳定变成不稳定。为了将虚轴附近的根轨迹画得比较精确，有必要求出根轨迹与虚轴的交点坐标ω及其相应的Kg值。根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jω，然后令其实部和虚部分别等于零，从中求得交点的坐标值及相应的K

6、g值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统正处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点坐标及其相应的Kg值。此处的增益称为临界根轨迹增益，常用Kg表示之。十、闭环极点的和与积设系统的开环传递函数为由求得系统的闭环特征方程为上述n阶方程可表示为本节介绍了10条绘制根轨迹的法则。只要牢记这10条法则的结论，就可以迅速地绘制出系统Kg=→∞时根轨迹的大致形状（即所谓根轨迹草图），从而可以直观地分析系统参数Kg变化对性能的影响。若需得到更准确的根轨迹，还可根据相角条件，采用试探法准确地确定轨迹上若干点的位置（尤其是在虚轴附近或原点附近的重要位置上），做相应的修改后，就能得到比较精确的根轨迹。小结