根轨迹绘制的基本规则

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1、21-Jul-211第二节根轨迹绘制的基本规则21-Jul-2122、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即特征根位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数Kg的180度根轨迹的性质。根轨迹的连续性和对称性1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。

2、一、根轨迹绘图的基本规则21-Jul-2134、根轨迹的起点和终点：Kg=0时为起点，Kg=∞时为终点。根轨迹的支数和起始点3、根轨迹的支数：当Kg=0时，只有s=－pj(j=1~n)时，上式才能成立。而－pj是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。n阶特征方程有n个根。当Kg从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。由根轨迹方程得根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。21-Jul-214我们称系统有n－m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。根轨迹的起点和终点当Kg=∞时，

3、①s=－zi(i=1~m)，上式成立。－zi是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在无穷远处。由根轨迹方程得由根轨迹方程知：当s→∞时21-Jul-215根轨迹的渐近线5.根轨迹的渐近线：若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。由根轨迹方程可得：式中，21-Jul-216根轨迹的渐近线当Kg→∞，由于m

4、线设s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(DeMoive)代数定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可写为21-Jul-218根轨迹的渐近线这是与实轴交点为－s，斜率为的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为21-Jul-2195.根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：规定：相角逆时针为正，顺时针为负。根轨迹渐近线的倾角21-Ju

5、l-2110渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：根轨迹渐进线与实轴的交点21-Jul-2111根轨迹渐进线与实轴的交点21-Jul-2112[例4-2]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的倾角：零极点分布和渐近线（红线）如图所示。21-Jul-2

6、1136、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。先看试验点s1点：所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2,－p1]为实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探

7、点构成的两个向量的相角之和为0°；同样s3点也不是根轨迹上的点。21-Jul-2114[例4-3]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。实轴上的根轨迹例题21-Jul-21157、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。实轴上的会