理论力学之点运动

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时间:2018-10-20

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1、运动学引言运动学:从几何的角度来研究物体的运动。即研究物体运动的几何性质,而不考虑引起运动的原因。运动方程、运动轨迹、速度、加速度参考系瞬时、时间间隔确定运动特征的量:1第7章点的运动例题§7-1矢量法§7-2直角坐标法§7-3自然法2§7-1矢量法运动方程速度矢径矢端曲线切线单位m/s速度(定义)3加速度速度矢端曲线切线加速度(定义)单位4直角坐标与矢径坐标之间的关系运动方程§7-2直角坐标法0Mzyxxyz5速度6加速度7§7-3自然法弧坐标1副法线单位矢量切向单位向量主法线单位矢量自然轴系2自然轴系:以

2、动点M为原点,切线、主法线、副法线为轴组成的正交坐标系称为自然坐标系。8自然坐标轴的几何性质密切面法面9曲率:曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值。曲率半径:曲率的倒数103速度4加速度代入则11切向加速度法向加速度曲线匀速运动常数曲线匀变速运动常数12椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动,端点A以铰链连接于规尺BC;规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动,求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxy已知:例题1点的运动例题13ACByOxMxy考虑任意位置,M点的坐标x,y可以表示成消去上式中的角φ,即

3、得M点的轨迹方程:解:例题1点的运动例题14例题1点的运动例题演示轨迹15例题1点的运动例题思考题:M点的轨迹是什么曲线?16例题1点的运动例题轨迹演示17xyOACBl曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且l>r,角=ωt,其中ω是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动,试求滑块B的运动方程,速度和加速度。例题2点的运动例题18考虑滑块B在任意位置,由几何关系得滑块B的坐标将φ=ωt代入上式得*令λ=r/l,将上式的根式展开,有解:例题2点的运动例题19略去λ4以及更高阶项

4、,并利用关系滑块B的速度和加速度为例题2点的运动例题则可表示为20如图凸轮绕O轴匀角速转动,使杆AB上升。欲使杆AB匀速上升,凸轮上的CD段轮廓线应是什么曲线?BDACRφρ例题3点的运动例题21以凸轮为参考系,取极坐标研究杆上A点的运动。根据题意有设C点为动点A在t=0时的初始位置,于是得以极坐标表示的A点相对于凸轮的运动方程消去时间t,得A点在凸轮上的轨迹方程上式为阿基米得螺旋线。BDACRφρ解:例题3点的运动例题22飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆

5、弧作机动飞行(如图),其中s以m计,t以s计,当t=5s时,试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例题4点的运动例题23OM0Mr(-)s(+)v0vatana解:因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程,宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点,s的正负方向如图所示。当t=5s时,飞机的位置M可由弧坐标确定先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度例题4点的运动例题24OM0Mr(-)s(+)v0vatana故在这瞬时飞机的总加速度a的大小和方向为α代入t=5s得例题4点的运动例题25半径是r的车

6、轮沿固定水平轨道滚动而不滑动(如图)。轮缘上一点M,在初瞬时与轨道上的O点叠合;在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt,其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程,瞬时速度和加速度。OHCDMxyφ例题6点的运动例题26OAHBCDMxyφ在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示:轴x沿直线轨道,并指向轮子滚动的前进方向,轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置,因车轮滚动而不滑动,故有OH=弧MH。于是,在图示瞬时动点M的坐标为解:1.求M点的运动方程。例题6点的运动例题27这方

7、程说明M点的轨迹是滚轮线(即摆线)。车轮滚一转的时间T=2π/ω,在此过程中,M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP,其两端O和P是尖点。OAHBCDMxyφP以代入,得M点的运动方程例题6点的运动例题对E28求坐标x,y对时间的一阶导数,得故得M点速度v的大小和方向,有M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。OAHBCDMPxyφ2.求M点的瞬时速度。v例题6点的运动例题29求vx,vy对时间的一阶导数,得故得M点加速度a的大小和方向,有x=0,y=0;当t=0时,有这表示,当M点接触轨道时,它的速度等于零,而加

8、速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。OAHBCDMPExyφa3.求M点的瞬时加速度。例题6点的运动例题30试求例6中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度,并求轨迹的最大曲率半径。OHCDMxyφPav例题7点的运动例题31解:因而它的切向加速度注意,当时,而当时,;两者相差一个负号。在以后,M点进入另一个滚轮环,这里出现尖点,运动方向发生突然逆转,由突变为。OHC

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