等差数列概念与通项公式(2)

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1、等差数列的概念与通项公式2等差数列定义：等差数列的通项公式：复习回顾：等差数列通项公式的一个变式已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，

2、公差是p,例2：首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：思考练习：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12.如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:A-a=b-A,即反之,若有，则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.总之:成等差数列.也就是说:是a,A,b成等差数列的充要条件.思考：在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,

3、b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,等差数列的性质1：即：求下列各题中两个数的等差中项。（1）、100与180（2）、－2与6练习：解:（1）100与180的等差中项是140（2）-2与6的等差中项为2在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则∵∴例3：在等差数列中，若则等差数列性质2：例4：（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3

4、+7=4+6=5+5∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5练习：（1）在等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，求a12=（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，求a8例5：解：∵3+5=2+6，则2a2＋a6=a2＋a3＋a5=a2－14=－15故a2=－15+14=－1∴a6=－15－2a2=－15－2×（－1

5、）=-13故a8=2a6－a4=2×（-13）－（-7）=-19∴a3＋a5=a2＋a6例6已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.小结：（1）由通项公式如何判定它是等差数列。（2）等差数列性质1（3）等差数列性质2作业：课本：P.39:6,8,9,10,11.