高中数学必修1难题好题

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1、高中数学必修1难题好题1.(2013•重庆)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={

2、m∈In,k∈In}.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.2.(2011•朝阳区二模)对于整数a,b,存在唯一一对整数q和r,使得a=bq+r,0≤r<

3、b

4、.特别地,当r=0时,称b能整除a,记作b

5、a,已知A={1,2,3,…,23}.(Ⅰ)存在q∈A,使得2011=91q+r(0≤r<91),试求q,r的值;(Ⅱ)若B⊆A,card(B)=12

6、(card(B)指集合B中的元素的个数),且存在a,b∈B,b<a,b

7、a,则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C,并求最大的m∈A,使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”,并说明理由.3.(2010•北京)已知集合Sn={X

8、X=(x1,x2,…,xn),x1∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn,定义A与B的差为A﹣B=(

9、a1﹣b1

10、,

11、a2﹣b2

12、,…

13、an﹣bn

14、);A与B之间的距离为(Ⅰ)当n=5时,设A=(0,1,

15、0,0,1),B=(1,1,1,0,0),求d(A,B);(Ⅱ)证明:∀A,B,C∈Sn,有A﹣B∈Sn,且d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B);(Ⅲ)证明:∀A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.4.(2008•南京模拟)已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),k(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.(1)已知集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求k(P)和k(Q);(2)若集合A={2,4,8,…,2n},证明:;(3)求k(A)的

16、最小值.5.(2007•北京)已知集合A={a1,a2,…,ak(k≥2)},其中ai∈Z(i=1,2,…,k),由A中的元素构成两个相应的集合:S={(a,b)

17、a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)

18、a∈A,b∈A,a﹣b∈A}.其中(a,b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a∈A,总有﹣a∉A,则称集合A具有性质P.(Ⅰ)检验集合{0,1,2,3}与{﹣1,2,3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合,写出相应的集合S和T;(Ⅱ)对任何具有性质P的集合A,证明:;(Ⅲ)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.6.(20

19、03•上海)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.7.设a,b是两个实数,A={(x,y)

20、x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)

21、x=m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)

22、x2+y2≤144},是平面XOY内的点集合,讨论是否存在a和b使得(1)A∩B≠φ(

23、φ表示空集),(2)(a,b)∈C同时成立.8.设集合,B={x

24、x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1<0}.(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数.(2)若B=∅,求m的取值范围.(3)若A⊇B,求m的取值范围.9.已知集合P=,y=log2(ax2﹣2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅,求实数a的取值范围;(2)若方程,求实数a的取值的取值范围.10.(2007•天津)设函数f(x)=﹣x(x﹣a)2(x∈R),其中a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值;(Ⅲ)当a>3

25、时,证明存在k∈[﹣1,0],使得不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)对任意的x∈R恒成立.11.(2006•上海)已知函数y=x+有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.(Ⅰ)如果函数y=x+(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;(Ⅱ)研究函数y=x2+(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;(Ⅲ)对函数y=x+和y=x2+(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数F(x)=(x2)n+()n(n是正整数)在区间[,2]

26、上的最大值和最小值(可利用你的研究结论

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