高中数学必修1难题好题2

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1、高中数学必修1难题好题1．（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={

2、m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．2．（2011•朝阳区二模）对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜

3、b

4、．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b

5、a，已知A={1，2，3，…，23}．（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=1

6、2（card（B）指集合B中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b

7、a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．3．（2010•北京）已知集合Sn={X

8、X=（x1，x2，…，xn），x1∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（

9、a1﹣b1

10、，

11、a2﹣b2

12、，…

13、an﹣bn

14、）；A与B之间的距离为（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，

15、1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅲ）证明：∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．4．（2008•南京模拟）已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，证明：；（3）求k（

16、A）的最小值．5．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）

17、a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）

18、a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．6

19、．（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．7．设a，b是两个实数，A={（x，y）

20、x=n，y=na+b，n是整数}，B={（x，y）

21、x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={（x，y）

22、x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）A

23、∩B≠φ（φ表示空集），（2）（a，b）∈C同时成立．8．设集合，B={x

24、x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．（2）若B=∅，求m的取值范围．（3）若A⊇B，求m的取值范围．9．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．10．（2007•天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（

25、Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[﹣1，0]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立．11．（2006•上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（Ⅰ）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；（Ⅱ）研究函数y=x2+（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（Ⅲ）对函数y=x+和y=x2+（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2）n+（）n（n是正整数）

26、在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论